System Of Equation

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 394)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{3(x+y)}\\ 4x^3+6x^2+4x+1=15y^4\end{array}$$

Lời giải :

Ta đặt $\sqrt[3]{x}=a,\sqrt[3]{y}=b$ thì ta viết phương trình đầu thành :

$a+b$$=\sqrt[3]{3(a^3+b^3)}$$\iff (a+b{)}^3$$=3\left[(a+b{)}^3-3ab(a+b)\right]$$\iff (a+b)(2a^2+2b^2-5ab)$$=0$$\iff (a+b)(a-2b)(b-2a)$$=0$

Chú ý phương trình thứ hai viết được dưới dạng :

$$(x+1{)}^4=15y^4+x^4$$

Từ đó dễ dàng kết luận được nghiệm của phương trình là :

$\left(x,y\right)$$=(1,-1),(-1/3,1/3),\left(\frac{1}{a-1},\frac{8}{a-1}\right),\left(\frac{-1}{a+1},\frac{-8}{a+1}\right),\left(\frac{1}{b-1},\frac{1}{8(b-1)}\right),\left(\frac{-1}{b+1},\frac{-1}{8(b+1)}\right)$

Ở đó :

$$a=\sqrt[4]{61441},b=\sqrt[4]{\frac{4111}{4096}}$$