System Of Equation

Bài toán (Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 418)

Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{xy+(x-y)\left(\sqrt{xy}-2\right)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\\ (x+1)\left[y+\sqrt{xy}+x(1-x)\right]=4\end{array}$$

Lời giải :

Ta viết phương trình đầu dưới dạng :

$\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}-y$$=\sqrt{y}-\sqrt{x}$$\iff \frac{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)-y^2}{\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}+y}$$=\frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}$$\iff \left(x-y\right)\left(\frac{y+\sqrt{xy}-2}{\sqrt{xy+(x-y)\left(\sqrt{xy}-2\right)}+y}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right)$$=0(\ast )$

Từ phương trình sau ta được :

$$y+\sqrt{xy}-2=\frac{4}{x+1}+x^2-x-2=\frac{x^3-x+4}{x+1}-2=\frac{x^3-3x+2}{x+1}>0$$

Kết hợp vào $(\ast )$ ta được $x=y$.

Dễ dàng tìm được nghiệm của hệ là :

$$(x,y)=(1,1),\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)$$