Inequality

Bài toán (Đề thi Olympic Gặp gỡ toán học 2014, lớp 11)

Cho $x,y,z>0$ và $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{27}{2}$. Chứng minh :

$$x^2+y^2+z^2\le 2(xy+yz+zx)$$

Lời giải :

Ta có thể viết điều cần chứng minh dưới dạng :

$$f(z)=z^2-2z(x+y)+(x-y{)}^2\le 0$$

Dễ thấy phương trình $f(z)=0$ có hai nghiệm ${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2,{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2$ nên để chứng minh $f(z)\le 0$ ta chỉ cần chứng minh :

$${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\le z\le {\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2$$

Điều này sẽ đúng nếu $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$ là độ dài ba cạnh một tam giác.

Đổi biến $\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\to \left(a,b,c\right)$. Gỉa thiết đã cho trở thành :

$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$$=\frac{27}{2}$

Để ý các kết quả quen thuộc :

$$a^2+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}$$

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{8}{(a+b{)}^2}$$

Như vậy ta được :

$\frac{27}{2}$$\ge \left(\frac{(a+b{)}^2}{2}+c^2\right)\left(\frac{8}{(a+b{)}^2}+\frac{1}{c^2}\right)$$\iff t^2-17t+16$$\le 0\left(t=\frac{(a+b{)}^2}{c^2}\right)$$\iff 1$$\le t$$\le 16$$\Rightarrow a+b$$\ge c$

Hoàn toàn tương tự ta được $b+c\ge a,c+a\ge b$. Tức $a,b,c$ hay $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$ là độ dài ba cạnh một tam giác.

Ta có điều phải chứng minh.