Functional Equation

Bài toán (Iran Team Selection Test 2008)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Đặt $f(0)=a,f(1)=b$. Trong $(1)$ thay $x=y=0$ :

$$f(0)+f(0)=f(f(0))\Rightarrow f(a)=2a$$

Trong $(1)$ thay $x=0,y=1$ :

$$2f(0)+1=f(f(1))+f(0)\Rightarrow f(b)=a+1(\ast \ast \ast \ast )$$

Trong $(1)$ thay $x=1,y=0$ :

$$f(f(0))+f(1)=f(1+f(0))\Rightarrow f(a+1)=f(a)+b$$

Nhưng ở trên ta có $a+1=f(b)$ và $f(a)=2a$ nên ta được :

$$f(f(b))=2a+b(\ast )$$

Trong $(1)$ thay $x=0,y=b$ :

$$f(0)+b+f(0)=f(f(b))+bf(0)\Rightarrow f(f(b))=2a+b-ab(\ast \ast )$$

Từ $(\ast )(\ast \ast )$ suy ra :

$$2a+b-ab=2a+b\Rightarrow ab=0$$

Rõ ràng nếu $b=0$ thì từ $(\ast \ast \ast \ast )$ ta suy ra $f(0)=a+1$ hay $a=a+1$. Điều này vô lí.

Do vậy phải được $a=0$ hay $f(0)=0$. Trong $(1)$ thay $x=0$ :

$f(0)+y+f(0)$$=f(f(y))+yf(0),\forall y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(f(x))$$=x,\forall x\in \mathbb{R}(\ast \ast \ast )$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(y)$ và sử dụng $(\ast \ast \ast )$, ta được :

$f(xf(f(y))))+f(y)+f(x)$$=f(x+f(f(y)))+f(y)f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(xy)+f(x)+f(y)$$=f(x+y)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Sử dụng bài toán này, ta được kết quả bài toán là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$