Equation

Bài toán (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 424)

Giải phương trình :

$${\left(x^3+\frac{1}{x^3}+1\right)}^4=3{\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)}^3$$

Lời giải :

Sử dụng BĐT Holder :

$3{\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)}^3$$=\left(1+1+1\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}+1\right)$$\ge {\left(\sqrt[4]{(x^4{)}^3}+\sqrt[4]{\frac{1}{(x^4{)}^3}}+1\right)}^4$$={\left(x^3+\frac{1}{x^3}+1\right)}^4$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1$. Và đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình.