Functional Equation

Bài toán (Argentina Team Selection Test 2010)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+xy+f(y))$$=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$

Lời giải :

Dễ thấy hàm $f$ hằng không thỏa. Ta xét $f$ không hằng.

Trong $(1)$ cho $y=-1$ ta được :

$f(f(-1))$$=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(-1)+\frac{1}{2}\right),\forall x\in \mathbb{R}$

Rõ ràng nếu $f(-1)\ne \frac{-1}{2}$ thì $f$ là hàm hằng. Do đó phải có $f(-1)=\frac{-1}{2}$

Ta sẽ chứng minh :

$$f(x)=\frac{-1}{2}\iff x=-1$$

Thật vậy, giả sử tồn tại $a\ne -1$ sao cho $f(a)=\frac{-1}{2}$. Trong $(1)$ ta chọn $y=a$ :

$$f\left(x+ax-\frac{1}{2}\right)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$

Mâu thuẫn vì $f$ không là hàm hằng. Do đó ta có $a=-1$.

Chú ý là $f(-1)=-1/2$ nên từ $(\ast )$ ta có :

$$f\left(\frac{-1}{2}\right)=0$$

Trong $(1)$ chọn $x=\frac{-1/2-f(y)}{1+y}$ được :

$f\left(\frac{-1/2-f(y)}{1+y}+y.\frac{-1/2-f(y)}{1+y}+f(y)\right)$$=\left(f\left(\frac{-1/2-f(y)}{1+y}\right)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right)$$\iff \left(f\left(\frac{-1/2-f(y)}{1+y}\right)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right)$$=f\left(\frac{-1}{2}\right)$$=0,\forall y\in \mathbb{R}$

Ta chỉ cần xét :

$f\left(\frac{-1/2-f(y)}{1+y}\right)$$=\frac{-1}{2},\forall y\in \mathbb{R}$$\iff \frac{-1/2-f(y)}{1+y}$$=-1,\forall y$$\ne -1$$\iff f(y)$$=y+\frac{1}{2},\forall y$$\ne -1$

Nhưng do $f(-1)=-1/2$ nên $f(x)=x+\frac{1}{2},\forall x\in \mathbb{R}$

Thử lại thỏa.

Đáp số bài toán là :

$$f(x)=x+\frac{1}{2},\forall x\in \mathbb{R}$$