System Of Equation

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2009)

Tìm nghiệm thực của hệ sau :

$$\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9}\end{array}$$

Lời giải :

Trước hết, ta có một kết quả đơn giản sau :

Nếu $x,y$ là các số thỏa $-1\le xy\le 1$ thì :

$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$$

Thực vậy, bằng Cauchy-Schwarz, ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn :

$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\le \frac{2}{1+xy}$$

Bằng một vài biến đổi đại số, ta đưa về được điều luôn đúng :

$${\left(x-y\right)}^2\left(xy-1\right)\le 0$$

Trở lại với bài toán, ta đặt $X=x\sqrt{2},Y=y\sqrt{2}$. Điều kiện của bài toán $x(1-2x)\ge 0,y(1-2y)\ge 0$ ta được $0\le x,y\le \frac{1}{2}\Rightarrow XY=2xy\le 1$. Phương trình đầu viết thành :

$$\frac{1}{\sqrt{1+X^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+Y^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+XY}}$$

Từ đó sử dụng kết quả trên ta được $X=Y$, kéo theo $x=y$.

Dễ dàng giải tiếp bài toán. Ta kết luận :

$$\left(x,y\right)=\left(\frac{9\pm \sqrt{73}}{36},\frac{9\pm \sqrt{73}}{36}\right)$$