1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Với các số không âm thỏa mãn . Tìm số thực lớn nhất sao cho : Lời giải : Cho , giả thiết đã cho viết thành : Lưu ý vì tìm lớn nhất nên xét . Thay vào bất đẳng thức, ta được : Mà , từ đó suy ra . Ta […]
Bài toán : Tìm số thực dương lớn nhất thỏa sao cho với mọi số dương thỏa mãn thì bất đẳng thức sau luôn đúng : Lời giải : Chọn ta được : Xét hàm số . Bằng cách lập bảng biến thiên, ta nhận thấy : Ta chứng minh là giá trị lớn nhất cần […]
Bài toán : (Phạm Kim Hùng) Tìm số thực dương lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương : Lời giải : Cho : Theo AM-GM,ta có : Suy ra được . Ta chứng minh đây là giá trị lớn nhất cần tìm. Sử dụng kỹ thuật Schur-SOS như sau […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn . Tìm số thực lớn nhất sao cho ta luôn có bất đẳng thức : Lời giải : Ta chọn thì giả thiết trở thành : Và bất đẳng thức trở thành : Xét hàm trên . Ta có : Bằng cách lập bảng biến thiên […]
Bài toán (Turkey National Olympiad Second Round 2013) Tìm số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi dương. Lời giải : Với những bất đẳng thức ba biến dạng hằng số tốt nhất, ngoài đẳng thức tại tâm còn có đẳng thức tại biên hoặc hai biến bằng nhau hoặc […]
Bài toán (Japan Mathematical Olympiad Finals 2014) Tìm số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi không âm và thỏa : Lời giải : Không giảm tổng quát, ta giả sử . Chọn thì : Và bất đẳng thức trở thành : Ta xét hàm trên . Dễ thấy nghịch biến nên suy […]
Bài toán : Cho tam giác . lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc . tiếp xúc tại . tiếp xúc tại . tiếp xúc tại . Gọi theo thứ tự là giao của các cặp đường thẳng . Chứng minh đồng quy. Lời giải : Qua kẻ đường thẳng song song […]
Bài toán : Cho các số không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng . Chứng minh các bất đẳng thức : a) (Olympic Gặp gỡ toán học lớp 12 năm 2014) b) Lời giải : a) Theo AM-GM : Như vậy chỉ cần chứng minh : Hiển nhiên vì đây là […]
Bài toán : Cho các số không âm và không có hai số nào cùng bằng . Chứng minh : Lời giải : Theo AM-GM, ta có : Suy ra : Như vậy ta chỉ cần chứng minh : Đúng vì đây là BĐT Schur. Nhận xét : Bất đẳng thức này ngoài dấu […]
Bài toán (Mathematical Reflections Magazine J30) Cho các số không âm và không có hai số nào cùng bằng . Chứng minh rằng : Lời giải : Bất đẳng thức đã cho tương đương với : Rõ ràng nếu thì : Khi đó theo bất đẳng thức Schur suy rộng thì là đúng. Bài toán […]
Bài toán : Cho các số không âm thỏa mãn không hai số nào cùng bằng . Chứng minh : Lời giải : Chú ý bài này có dấu bằng tại cả tâm và cả biên . Ta loại dấu bằng tại tâm như sau. Nếu , không giảm tổng quát, giả sử , ta […]
Bài toán (Vasile Cirtoaje) Cho các số dương thoả mãn . Chứng minh : Lời giải : Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho số thực thoả mãn . Đặt : với . Khi đó ta có : Chứng minh bổ đề : Ta áp dụng Cauchy-Schwarz : Giải bất phương trình bậc hai biến ta […]
Bài toán (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương và . Chứng minh rằng : Lời giải : Chú ý rằng : Nên ta dẫn đến việc chứng minh : Đặt với nên theo bổ đề Võ Quốc Bá Cẩn : Như vậy ta sẽ tách : Và chú ý Nên ta sẽ chứng […]
Bài toán : Cho các số dương có tổng bằng . Chứng minh : Lời giải : Đặt với . Nếu thì và bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Ta chỉ xét . Theo bổ đề Võ Quốc Bá Cẩn, ta có : Do đó ta tách : Và áp dụng Cauchy-Schwarz : Ta […]
Cho các số thực khác nhau đôi một, ta có đẳng thức : Bài toán 1 (Vietnamese Mathematical Olympiad 2008) Cho các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh : Lời giải : Không giảm tổng quát ta giả sử , khi đó : Bây giờ ta sử dụng đẳng thức và BĐT […]
Bài toán : (Singapore Team Selection Test 2004) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy hàm đồng nhất thỏa đề, ta xét không hằng. Trong cho : Từ đây suy ra ngay . Bây giờ ta sẽ chứng minh nhận xét sau : Gỉa sử phản chứng […]
Bài toán (Tiêu thụ bài giảng – Gặp gỡ toán học 2014) Tìm tất cả các hàm và thỏa mãn : Lời giải : Trước hết ta sẽ tính . Đặt . Trong cho : Từ đây dễ dàng suy ra là một song ánh. Do đó tồn tại số thực sao cho . Trong […]
Bài toán (Tiêu thụ bài giảng – Gặp gỡ toán học 2014) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong ta thay bởi : Trong đổi vai trò : Từ ta được : Hơn nữa trong cho : Và từ thì suy ra được : Thay vào thì được […]
Bài toán (Nordic Mathematical Olympiad 2011) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong thay ta được : Lưu ý rằng từ đây chỉ có thể khẳng định là giá trị của tại điểm là hoặc . Dễ thấy các hàm thỏa mãn bài ra. Ta sẽ chứng minh […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013 Phổ thông Năng Khiếu ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Cố định trong suy ra được toàn ánh. Đặt . Trong cho được . Trong lại cho được . Suy ra . Như vậy . […]