Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c$ và không có hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh :

$$\frac{3a^3+abc}{b^3+c^3}+\frac{3b^3+abc}{c^3+a^3}+\frac{3c^3+abc}{a^3+b^3}\ge 6$$

Lời giải :

Theo AM-GM, ta có :

$(a^3+b^3)(b^3+c^3)+(b^3+c^3)(c^3+a^3)+(c^3+a^3)(a^3+b^3)$$\ge 3\sqrt[3]{(a^3+b^3{)}^2(b^3+c^3{)}^2(c^3+a^3{)}^2}$$\ge 12a^2{b}^2{c}^2$

Suy ra :

$\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{c^3+a^3}$$\ge \frac{12a^2{b}^2{c}^2}{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$$\Rightarrow \sum \frac{abc}{a^3+b^3}$$\ge \frac{12a^3{b}^3{c}^3}{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh :

$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{c^3+a^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3}+\frac{4a^3{b}^3{c}^3}{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$$\ge 2$

Đúng vì đây là BĐT Schur.

 

Nhận xét :

Bất đẳng thức này ngoài dấu bằng tại tâm $a=b=c$ còn có dấu bằng tại biên là $(a,b,c)=(k,k,0)$ và các hoán vị. Ta đã đảm bảo cả hai dấu bằng này trong quá trình đánh giá trên là nhờ sử dụng ước lượng :

$$E(a,b,c)\ge F(a,b,c)\Rightarrow abc.E(a,b,c)\ge abc.F(a,b,c)$$

Với 

$$E(a,b,c)=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{c^3+a^3}$$ 

và $$F(a,b,c)=\frac{12a^2{b}^2{c}^2}{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$$

Phương pháp đánh giá như vậy gọi là phương pháp “Phân ly đẳng thức”.

Hơn nữa BĐT Schur cũng giúp ta đảm bảo dấu bằng này.