Inequality

Bài toán (Mathematical Reflections Magazine J30)

Cho các số không âm $a,b,c$ và không có hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^3+abc}{b+c}+\frac{b^3+abc}{c+a}+\frac{c^3+abc}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2$$

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

$\sum _{a,b,c}\left(\frac{a^3+abc}{b+c}-a^2\right)$$\ge 0$$\iff \frac{a(a-b)(a-c)}{b+c}+\frac{b(b-c)(b-a)}{c+a}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a+b}$$\ge 0(\ast )$

Rõ ràng nếu $a\ge b\ge c$ thì :

$$\frac{a}{b+c}\ge \frac{b}{c+a}\ge \frac{c}{a+b}$$

Khi đó theo bất đẳng thức Schur suy rộng thì $(\ast )$ là đúng. Bài toán hoàn tất.

 

Ta nhắc lại về BĐT Schur suy rộng :

Cho các số không âm $a,b,c,x,y,z$. Khi đó nếu $(a,b,c),(x,y,z)$ là hai bộ đơn điệu thì ta có bất đẳng thức sau :

$$x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)+z(c-a)(c-b)\ge 0$$

Chứng minh :

Không giảm tổng quát ta giả sử $a\ge b\ge c$. Xét hai trường hợp sau :

i) Nếu $x\ge y\ge z$ thì :

$$z(c-a)(c-b)\ge 0$$

$$x(a-c)-y(b-c)\ge x(b-c)-y(b-c)=(b-c)(x-y)\ge 0\Rightarrow x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)\ge 0$$

Cộng hai vế BĐT trên ta có kết quả cần chứng minh.

ii) Nếu $z\ge y\ge x$ thì :

$$x(a-b)(a-c)\ge 0$$

$$z(a-c)-y(a-b)\ge z(a-b)-y(a-b)=(z-y)(a-b)\ge 0\Rightarrow z(c-a)(c-b)+y(b-a)(b-c)\ge 0$$

Cộng hai vế BĐT trên ta có kết quả cần chứng minh.

Bất đẳng thức Schur suy rộng được chứng minh.