Inequality

Bài toán : (Phạm Kim Hùng)

Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương $a,b,c$ :

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+k.\frac{(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$$\ge 9+k$

Lời giải :

Cho $b=c$ :

$(a+2b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)-9$$\ge k\left(1-\frac{2ab+b^2}{a^2+2b^2}\right)$$\iff \frac{2(a-b{)}^2}{ab}$$\ge k.\frac{(a-b{)}^2}{a^2+2b^2}$$\iff \frac{a^2+2b^2}{ab}$$\ge \frac{k}{2}$

Theo AM-GM,ta có :

$$\frac{a^2+2b^2}{ab}\ge 2\sqrt{2}$$

Suy ra được

$$k\le 4\sqrt{2}$$.

Ta chứng minh đây là giá trị $k$ lớn nhất cần tìm. Sử dụng kỹ thuật Schur-SOS như sau :

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-9$$\ge 4\sqrt{2}\left(1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right)$$\iff \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc}{abc}$$\ge 4\sqrt{2}.\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2+b^2+c^2}$$\iff \frac{2c(a-b{)}^2+(a+b)(a-c)(b-c)}{abc}$$\ge 4\sqrt{2}.\frac{(a-b{)}^2+(a-c)(b-c)}{a^2+b^2+c^2}$$\iff M(a-b{)}^2+N(a-c)(b-c)$$\ge 0$

Trong đó :

$$M=\frac{2c}{abc}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$$

$$N=\frac{a+b}{abc}-\frac{4\sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2}$$

Gỉa sử $c=max\left\{a,b,c\right\}$ thì mọi việc hoàn tất nếu chỉ ra $N\ge 0$. Hay là :

$$(a+b)(a^2+b^2+c^2)\ge 4\sqrt{2}abc$$

Do tính thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Ta đi chứng minh kết quả mạnh hơn sau :

$$a^2+b^2+c^2\ge c(a+b)\sqrt{2}\iff 1-2c(a+b)\ge c(a+b)\sqrt{2}+2ab$$

Và mạnh hơn nữa :

$1-2c(a+b)$$\ge c(a+b)\sqrt{2}+\frac{(a+b{)}^2}{2}$$\iff 1-2t(1-t)$$\ge t(1-t)\sqrt{2}+\frac{t^2}{2}(t$$=a+b)$$\iff \frac{3-2\sqrt{2}}{2}{t}^2-(2+\sqrt{2})t+1$$\ge 0$$\iff {\left(\frac{(-2+\sqrt{2})t}{2}-1\right)}^2$$\ge 0$

Điều này đúng. Như vậy chứng minh hoàn tất. Số $k$ tốt nhất thỏa đề là :

$$\boxed{k=4\sqrt{2}}$$