Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $4$. Chứng minh :

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2$$

Lời giải :

Đặt $a^2+b^2+c^2+d^2=4+12t^2$ với $0\le t<1$. Nếu $t=0$ thì $a=b=c=d=1$ và bất đẳng thức trở thành đẳng thức.

Ta chỉ xét $0<t<1$. Theo bổ đề Võ Quốc Bá Cẩn, ta có :

$$a,b,c,d\le 1+3t$$

Do đó ta tách :

$$\frac{1}{a}=\frac{1}{1+3t}+\frac{1+3t-a}{a(1+3t)}$$

Và áp dụng Cauchy-Schwarz :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$$=\frac{4}{1+3t}+\frac{1}{1+3t}.\sum \frac{1+3t-a}{a}$$\ge \frac{4}{1+3t}+\frac{1}{1+3t}.\frac{{\left[(1+3t-a)+(1+3t-b)+(1+3t-c)+(1+3t-d)\right]}^2}{\sum a(1+3t-a)}$$=\frac{4}{1+3t}+\frac{1}{1+3t}.\frac{12t}{1-t}$$=\frac{4+8t}{(1-t)(1+3t)}(\ast )$

Ta cũng có :

$$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a(1+3t)}+\frac{1+3t-a}{a^2(1+3t)}$$

Do đó mà :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}$$=\frac{1}{(1+3t)}.\sum \frac{1}{a}+\frac{1}{1+3t}\sum \frac{1+3t-a}{a^2}$

Sử dụng BĐT Holder :

$\left(\sum \frac{1+3t-a}{a^2}\right){\left[\sum a(1+3t-a)\right]}^2$$\ge {\left(\sum (1+3t-a)\right)}^3$$=(12t{)}^3$$\Rightarrow \sum \frac{1+3t-a}{a^2}$$\ge \frac{(12t{)}^3}{{\left[\sum a(1+3t-a)\right]}^2}$$=\frac{12t}{(1-t{)}^2}$

Từ đó chú ý vào $(\ast )$ ta thu được :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}$$\ge \frac{1}{1+3t}.\frac{4+8t}{(1+3t)(1-t)}+\frac{1}{1+3t}.\frac{12t}{(1-t{)}^2}$

Vậy ta đi chứng minh :

$\frac{1}{1+3t}.\frac{4+8t}{(1+3t)(1-t)}+\frac{1}{1+3t}.\frac{12t}{(1-t{)}^2}$$\ge 4+12t^2$$\iff \frac{(1+2t)}{(1+3t{)}^2(1-t)}+\frac{3}{(1+3t)(1-t{)}^2}$$\ge 1+3t^2$

Hơn nữa bằng AM-GM, dễ thấy :

$$(1+3t)(1-t)\le \frac{4}{3}$$

Do vậy ta chứng minh một kết quả mạnh hơn là :

$\frac{3(1+2t)}{4(1+3t)}+\frac{9}{4(1-t)}$$\ge 1+3t^2$$\iff f(t)$$=36t^4-24t^3-6t^2+22t+8$$\ge 0$

Ta có :

$$f^{\prime }(t)=144t^3-72t^2-12t+22$$

Theo AM-GM :

$$16t^3+2+2\ge 3\sqrt[3]{16t^3.2.2}=12t$$

$$64t^3+64t^3+8\ge 3\sqrt[3]{64t^3.64t^3.8}=96t^2$$

Suy ra :

$$f^{\prime }(t)>(16t^3+2+2)+(64t^3+64t^3+8)-12t-96t^2>0$$

Suy ra hàm $f$ đồng biến, từ đó $f(t)\ge f(0)=8>0$. Bất đẳng thức được chứng minh.