Functional Equation

Bài toán (Tiêu thụ bài giảng – Gặp gỡ toán học 2014)

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+f(x^2+f(y))=f^2(x)+f(x)+f(y)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trước hết ta sẽ tính $f(0)$. Đặt $f(0)=a$. Trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$f(f(y))=a^2+a+y,\forall y\in \mathbb{R}$$

Từ đây dễ dàng suy ra $f$ là một song ánh. Do đó tồn tại số thực $b$ sao cho $f(b)=0$.

Trong $(1)$ cho $x=0,y=b$ :

$$f(b)+f(f(b))=f^2(0)+f(0)+f(b)+b\iff f(0)=f^2(0)+f(0)+b\iff a^2+b=0$$

Trong $(1)$ cho $x=b,y=0$ :

$$f(b)+f(b^2+f(0))=f^2(b)+f(b)+f(0)\iff f(b^2+a)=a=f(0)$$

Do $f$ song ánh nên $b^2+a=0$. Ta được hệ $\{\begin{array}{c}{a}^2+b=0\\ a+b^2=0\end{array}$

Và hệ này cho nghiệm duy nhất $a=b=0$. Như vậy $f(0)=0$. Từ đó trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Suy ra được :

$$f(x^2)=f^2(x)=f^2(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Chú ý do $f$ song ánh nên $f$ không thể là hàm chẵn, như vậy $f$ phải là hàm lẻ :

$$f(-x)=-f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-x$ :

$f(y-x)+f(x^2+f(y))$$=f^2(-x)+f(-x)+f(y)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff -f(x-y)+f(x^2+f(y))$$=f^2(x)-f(x)+f(y)+y,\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Trừ vế theo vế $(1)$ và $(2)$ :

$f(x+y)+f(x-y)$$=2f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x)+f(y)$$=2f\left(\frac{x+y}{2}\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(3)$

Cho $y=0$ vào $(3)$ :

$$f(x)=f(x)+f(0)=2f\left(\frac{x}{2}\right),\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đó ta viết được phương trình hàm dưới dạng :

$$f(x)+f(y)=f(x+y),\forall x\in \mathbb{R}$$

Hơn nữa ở trên ta đã chứng minh được :

$$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)\ge 0,\forall x\ge 0$$

Kết hợp với việc $f$ cộng tính ta được kết quả bài toán là :

$$\boxed{f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}}$$