Functional Equation

Bài toán (Tiêu thụ bài giảng – Gặp gỡ toán học 2014)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+xf(y)=f(f(x)+y)+yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta thay $y$ bởi $f(y)$ :

$$f(x+f(y))+xf(f(y))=f(f(x)+f(y))+f(y)f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(2)$ đổi vai trò $x,y$ :

$$f(y+f(x))+yf(f(x))=f(f(y)+f(x))+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(3)$$

Từ $(2)(3)$ ta được :

$$f(x+f(y))+xf(f(y))=f(y+f(x))+yf(f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(4)$$

Hơn nữa trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(x)+xf(0)=f(f(x)),\forall x\in \mathbb{R}(\ast )$$

Và từ $(1)$ thì suy ra được :

$$f(x+f(y))=f(y+x)+yf(x)-xf(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

$$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(4)$ thì được :

$\left[f(y+x)+yf(x)-xf(y)\right]+x\left[f(y)+yf(0)\right]$$=\left[f(x+y)+xf(y)-yf(x)\right]+y\left[f(x)+xf(0)\right],\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff xf(y)$$=yf(x),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff \frac{f(x)}{x}$$=\frac{f(y)}{y},\forall x,y$$\ne 0$$\iff f(x)$$=cx,\forall x$$\ne 0,(c$$=const)$

Nếu $f(0)=0$ thì kết luận được ngay $f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại thỏa mãn.

Nếu $f(0)\ne 0$ thì từ $(\ast )$ suy ra $f$ là đơn ánh. Trong $(1)$ cho $x=y=0$ :

$$f(0)=f(f(0))\Rightarrow f(0)=0$$

Mâu thuẫn. Vậy ta kết luận được :

$$\boxed{f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}}$$