Functional Equation

Bài toán (Nordic Mathematical Olympiad 2011)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ thay $y=\frac{1}{2}\left[x^2-f(x)\right]$ ta được :

$$f(x)\left[x^2-f(x)\right]=0,\forall x\in \mathbb{R}(2)$$

Lưu ý rằng từ đây chỉ có thể khẳng định là giá trị của $f$ tại điểm $x$ là $0$ hoặc $x^2$.

Dễ thấy các hàm $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R};f(x)=x^2,\forall x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn bài ra. Ta sẽ chứng minh ngoài hai hàm này ra không còn hàm nào khác thỏa đề.

Gỉa sử $f(x)\not\equiv 0,f(x)\not\equiv x^2$. Trong $(2)$ cho $x=0$ được $f(0)=0$. Trong $(1)$ thấy $x=0$ được $f(y)=f(-y),\forall \mathbb{R}$.

Gỉa sử tồn tại $a\ne 0$ sao cho $f(a)=0$ và tồn tại $b\ne 0$ sao cho $f(b)=b^2$. Ta có thể giả sử $b>0$ vì $f$ là hàm chẵn.

Trong $(1)$ lấy $x=a,y=-b$ :

$$f(f(a)-b)=f(a^2+b)-4bf(a)\Rightarrow f(-b)=f(a^2+b)$$

Lại có $f(-b)=f(b)=b^2$ nên $f(a^2+b)=b^2\ne 0$, từ $(2)$ được $f(a^2+b)=(a^2+b{)}^2$. Như vậy :

$$b^2=(a^2+b{)}^2\iff a^2(a^2+2b)=0$$

Vô lí vì $a\ne 0$ và $b>0$. Ta kết luận :

$$\boxed{f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R};f(x)=x^2,\forall x\in \mathbb{R}}$$