Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=a+b+c$. Tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho ta luôn có bất đẳng thức :

$$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge k(a+b+c+1)$$

Lời giải :

Ta chọn $b=c$ thì giả thiết trở thành :

$$a+2b=b^2+2ab\Rightarrow a=\frac{2b-b^2}{2b-1}\Rightarrow \frac{1}{2}<b\le 2$$

Và bất đẳng thức trở thành :

$(a+2b)\left(\frac{1}{2b}+\frac{2}{a+b}\right)$$\ge k(a+2b+1)$$\Rightarrow \left(\frac{2b-b^2}{2b-1}+2b\right)\left(\frac{1}{2b}+\frac{2}{\frac{2b-b^2}{2b-1}+b}\right)$$\ge k\left(\frac{2b-b^2}{2b-1}+2b+1\right)$$\iff \frac{3b^2-b}{3b^3+5b^2+b-1}$$\ge \frac{2k}{9}$

Xét hàm $f(b)=\frac{3b^2-b}{3b^3+5b^2+b-1}$ trên $\left(\frac{1}{2};2\right]$. Ta có :

$$f^{\prime }(b)=0\iff \frac{-(b^2-1)(3b-1{)}^2}{(3b^3+5b^2+b-1{)}^2}=0\iff b=1$$

Bằng cách lập bảng biến thiên ta tìm được $f(b{)}_{min}=\frac{2}{9}\iff b=2$. Từ đó được $k\le 1$.

Ta chứng minh $k=1$ là giá trị lớn nhất cần tìm. Thực vậy, ta cần chứng minh :

$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$$\ge a+b+c+1$$\iff (ab+bc+ca)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$$\ge a+b+c+1$$\iff \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}$$\ge 1$

Nhận thấy rằng dấu bằng đạt được tại một biến bằng $0$ và hai biến bằng $2$ nên nếu đánh giá bằng những BĐT thông thường có dấu bằng tại tâm sẽ không dẫn đến kết quả. Để đảm bảo dấu bằng ta sẽ loại bỏ dấu bằng tại biên này bằng cách sử dụng $abc\ge 0$ như sau. Theo Cauchy-Schwarz :

$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}$$\ge \frac{(ab+bc+ca{)}^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$$=\frac{(ab+bc+ca{)}^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc}$$\ge \frac{(ab+bc+ca{)}^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$$=1$

Chứng minh hoàn thành. Ta kết luận số $k$ tốt nhất cần tìm là $k=1$.