Functional Equation

Bài toán : (Singapore Team Selection Test 2004)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$\left(f(x)-f(y)\right)f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\ne y(1)$

Lời giải :

Dễ thấy hàm đồng nhất $0$ thỏa đề, ta xét $f$ không hằng.

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$\left(f(x)-f(0)\right)f(1)=f(x)+f(0),\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra ngay $f(0)=0,f(1)=1$.

Bây giờ ta sẽ chứng minh nhận xét sau :

$$f(x)\ne 0,\forall x\ne 0$$

Gỉa sử phản chứng là tồn tại số thực $a\ne 0$ sao cho $f(a)=0$. Trong $(1)$ cho $y=a$ :

$\left(f(x)-f(a)\right)f\left(\frac{x+a}{x-a}\right)$$=f(x)+f(a),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f\left(\frac{x+a}{x-a}\right)$$=1$

Vì $a\ne 0$ nên $\frac{x+a}{x-a}\ne 1$, như vậy tồn tại $d\ne 1$ sao cho $f(d)=1$. Chú ý rằng :

$$\frac{x+y}{x-y}=d\iff x=\frac{y+dy}{d-1}$$

Như vậy trong $(1)$ ta chọn $x=\frac{y+dy}{d-1}$ ta được :

$$f(y)=0,\forall y\in \mathbb{R}$$

Ta gặp mâu thuẫn. Như vậy nhận xét của ta được chứng minh. Tức là $f(x)\ne 0,\forall x\ne 0$.

Ta chứng minh $f$ đơn ánh. Gỉa sử tồn tại $p,q\ne 0$ sao cho $f(p)=f(q)$. Nếu $p\ne q$ thì trong $(1)$ cho $x=p,y=q$ :

$$\left(f(p)-f(q)\right)f\left(\frac{p+q}{p-q}\right)=f(p)+f(q)\Rightarrow f(p)=f(q)=0$$

Nhưng rõ ràng điều này là mâu thuẫn vì $p,q\ne 0$.

Như vậy phải có $p=q$. Tức $f$ là một đơn ánh.

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $xy$ :

$\left(f(xy)-f(y)\right)f\left(\frac{xy+y}{xy-y}\right)$$=f(xy)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Hay :

$$f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{f(xy)+f(y)}{f(xy)-f(y)},\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ ta cho $y=1$ :

$f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$$=\frac{f(x)+f(1)}{f(x)-f(1)}$$=\frac{f(x)+1}{f(x)-1},\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó kéo theo :

$\frac{f(x)+1}{f(x)-1}$$=\frac{f(xy)+f(y)}{f(xy)-f(y)},\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(xy)$$=f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Chọn $x=y$ thì thu được :

$$f(x^2)=f^2(x)=f^2(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Chú ý do tính đơn ánh của $f$ mà ta có $f(x)=-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$.

Từ trên cũng suy ra được :

$$f(x)>0,\forall x>0$$

Với mọi $x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$ và $x>y$ :

$$\left(f(x)-f(y)\right)f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=f(x)+f(y)>0\Rightarrow f(x)>f(y)$$ 

Như vậy $f$ đơn điệu trên ${\mathbb{R}}^{+}$. Và cũng với mọi $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ ta đặt $g(x)=\ln f(x)$ thì được :

$$g(x)+g(y)=g(x+y),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Hơn nữa với $x>y>0$ có $f(x)>f(y)$, kéo theo $g(x)=\ln f(x)>\ln f(y)=g(y)$. Như vậy $g$ đơn điệu trên ${\mathbb{R}}^{+}$. Ta được $g(x)=kx$. Thu được :

$$f(x)=x^{\alpha },\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},\alpha =const$$

Thay vào $(1)$ được $\alpha =1$. Như vậy là ta thu được :

$$f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Kết hợp với việc $f$ là hàm lẻ. Ta được ngay :

$$\boxed{f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}}$$