Functional Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013 Phổ thông Năng Khiếu ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^3+y+f(y))=2y+x^{2}f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Cố định $x$ trong $(1)$ suy ra được $f$ toàn ánh. Đặt $f(0)=a$. Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=0$. Trong $(1)$ lại cho $x=0,y=a$ được $f(a)=2a$. Suy ra $a=0$. Như vậy $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$f(y+f(y))=2y,\forall y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(x^3)=x^{2}f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đó ta viết $(1)$ dưới dạng :

$$f(x^3+y+f(y))=f(y+f(y))+f(x^3),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Chú ý tính toàn ánh của $f$ nên ta được :

$$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Từ đây dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp $f(nx)=nf(x),\forall x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}$

Ta tính giá trị $f((x+1{)}^3+(x-1{)}^3)$ theo hai cách như sau.

Ta có :

$$f((x+1{)}^3+(x-1{)}^3)=f(2x^3+6x)=2f(x^3)+6f(x)=2x^{2}f(x)+6f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

$f((x+1{)}^3+(x-1{)}^3)$$=f((x+1{)}^3)+f((x-1{)}^3)$$=(x+1{)}^{2}f(x+1)+(x-1{)}^{2}f(x-1)$$=\left(x^2+2x+1\right)\left[f(x)+f(1)\right]+\left(x^2-2x+1\right)\left[f(x)-f(1)\right]$$=(2x^2+2)f(x)+4xf(1),\forall x\in \mathbb{R}$

Từ hai điều trên ta suy ra :

$2x^{2}f(x)+6f(x)$$=(2x^2+2)f(x)+4xf(1),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x)$$=ax,\forall x\in \mathbb{R}$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=1$. Kết luận :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$