1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong ta thay , được : Dễ thấy từ ta suy ra được các hàm là thỏa mãn bài ra. Ta sẽ chứng minh ngoài hai […]
Bài toán (Đề thi Olympic toán học Nghệ – Tĩnh 2014) Tam giác có cố định và di chuyển trên cung lớn của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi là tâm nội tiếp tam giác. Đường tròn tiếp xúc trong với tại và tiếp xúc ở . Các đường thẳng qua lần lượt vuông […]
Bài toán (Czech – Polish – Slovak Match 2001) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt . Trong cho được : Trong thay : Như vậy ta được . Tức là . Trong thay bởi và chú ý : Trong thay và chú ý : Từ hai điều trên […]
Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2008) Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Xét hàm số trên có nên là hàm nghịch biến trên . Ta thấy . Suy ra : Như vậy dãy là dãy bị chặn […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi và : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Ta có thể viết công thức xác định dãy dưới dạng : Dễ thấy mọi số hạng của dãy đều dương. Từ đó không khó để thấy […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 408) Cho dãy số được xác định bởi và : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Ta có : Suy ra : Xét hàm số : Có : Xét hàm số : Vì nên […]
Bài toán : Xét dãy số như sau : và : Chứng minh dãy này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Dễ thấy với mọi . Xét hàm số trên có đạo hàm : Như vậy hàm đồng biến. Hơn nữa : Xét hàm số có nên nghịch […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh) Xét dãy số như sau : Chứng minh rằng hội tụ. Lời giải : Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp Xét hàm trên . Hàm này có đạo hàm Xét hàm số thì […]
Bài toán : Cho dãy số được xác định như sau : Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Ta có thể viết công thức xác định dãy dưới dạng : Ta đi xét hai dãy phụ sau : Ta thấy nên . […]
Bài toán : Xét dãy số như sau : Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Xét hai dãy phụ : Ta dễ thấy . Ta sẽ chứng minh dãy là dãy giảm. Ta xét hàm số , dễ dàng thấy được . Như vậy vì nên hay . […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2009) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy hàm đồng nhất $0$ thỏa mãn. Trong ta cố định lại thì dễ chứng minh được là một đơn ánh. Trong ta cho : Trong cho và chú ý : Do đơn ánh nên […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2013) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Ta đặt , khi đó ta viết phương trình hàm ban đầu dưới dạng : Trong cho được . Trong cho : Trong ta thay được : Ta sẽ tính theo hai cách. Ta có […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2008) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong lấy được . Trong lấy Trong lấy ta được : Nhưng rõ ràng nếu thì từ suy ra đồng nhất và hàm này thỏa mãn bài toán. Còn nếu thì trong lại lấy […]
Bài toán : a) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng : b) (ELMO Shortlist 2014) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : a) Ta khai triển BĐT cần chứng minh : Sử dụng AM-GM ta dễ thấy : Như vậy ta chỉ cần […]
Bài toán (Đề thi thử sức – Đồng hành cùng gặp gỡ toán học 2014) Gọi là hai điểm nằm trên hai cạnh của tam giác nhọn . là giao của . là trung điểm của . Gọi là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác và là giao điểm […]
Bài toán : (Kiểm tra Trường hè Lê Qúy Đôn 2014) Cho tứ giác nội tiếp . Các cặp đường thẳng có giao điểm là . Gọi là giao của hai đường tròn . Gọi là giao của phân giác góc và . Gọi là giao của phân giác góc và . Chứng minh thẳng […]
Bài toán (Trại hè Hùng Vương 2014) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Đường tròn tâm tiếp xúc với hai cạnh lần lượt tại và tiếp xúc trong với đường tròn tại . Một đường thẳng song song với và tiếp xúc với tại nằm trong tam giác a) Gọi lần lượt […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2011) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt thay vào được : Trong cho : Trong cho : Ta sẽ tính theo hai cách. Ta có : Như vậy ta suy ra : Hơn nữa ta có trong cho được . Trong […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp . lần lượt là giao điểm của các cặp đường . Gọi là giao điểm thứ hai của và và là giao điểm thứ hai của và . a) (ELMO Shortlist 2014) Chứng minh rằng đồng quy. b) Gọi là điểm Miquel của tứ giác toàn phần […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp có giao nhau tại và giao nhau tại . Gọi là trung điểm của . Gọi là tâm ngoại tiếp tam giác . Chứng minh song song . Lời giải : Gọi là trung điểm của , theo thứ tự là giao của với . Dễ thấy […]