Functional Equation

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2009)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Dễ thấy hàm đồng nhất $0$ thỏa mãn.

Trong $(1)$ ta cố định $x$ lại thì dễ chứng minh được $f$ là một đơn ánh.

Trong $(1)$ ta cho $x=0,y=1$ :

$f(0)+f(f(0)+f(1))$$=f(0)+f(f(1))$$\iff f(f(0)+f(1))$$=f(f(1))$$\iff f(0)+f(1)$$=f(1)$$\iff f(0)$$=0$

Trong $(1)$ cho $y=0$ và chú ý $f(0)=0$ :

$f(xf(0))+f(f(x)+f(0))$$=f(x+f(0)),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(f(x))$$=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Do $f$ đơn ánh nên ta thu được đáp số bài toán là :

$$\boxed{f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R},f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}}$$