Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 408) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=2011$ và : \[u_{n+1}=\dfrac{\pi }{8}\left ( \cos u_n+\dfrac{\cos 2u_n}{2}+\dfrac{\cos 3u_n}{3}\right ),\;\forall n\geq 1\] Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này. Lời giải : Ta có : \[(\sin x +\sin 2x+\sin 3x)^2=\left ( 2\sin 2x.\cos x+2\sin x.\cos x \right )^2\] \[\leq 4\left [ (\sin 2x.\cos x+\sin x.\cos x)^2+(\sin 2x.\sin x-\cos^2x)^2 \right ]\] \[=4\left ( \sin^2 2x+\cos^2x \right )=4\left ( \dfrac{25}{16} -\left ( \cos2x-1/4 \right )^2\right )\leq \dfrac{25}{4}\] Suy ra : \[\left | \sin x+\sin 2x +\sin 3x\right |\leq \dfrac{5}{2}\] Xét hàm số : \[f(x)=\dfrac{\pi }{8}\left ( \cos x+\frac{\cos 2x}{2}+\dfrac{\cos 3x}{3}\right )\] Có : \[f'(x)=\dfrac{-\pi }{8}(\sin x+\sin 2x +\sin 3x)\Rightarrow \left | f'(x) \right |\leq \dfrac{\pi }{8}.\dfrac{5}{2}=\dfrac{5\pi}{16}< 1\] Xét hàm số : \[g(x)=f(x)-x\] Vì $g'(x)=f'(x)-1<0$ nên $g$ là hàm nghịch biến. Hơn nữa có : \[g(0).g\left ( \dfrac{\pi }{6} \right )=\dfrac{11\pi }{40}.\left ( \dfrac{-\pi }{6}+\dfrac{\pi }{8}.\dfrac{1+2\sqrt{3}}{4} \right )< 0\] Vậy phương trình $g(x)=0$ hay $f(x)=x$ có nghiệm duy nhất trong khoảng $\left ( 0,\dfrac{\pi }{6} \right )$. Gọi nghiệm này là $k$. Theo định lý Lagrange, tồn tại số thực $r$ để mà : \[f(u_n)-f(k)=f'(r)\left ( u_n-k \right )\leq \dfrac{5\pi}{16}(u_n-k)\] Mà $f(k)=k$ và $u_{n+1}=f(u_n)$ : \[0\leq \left | u_{n+1}-k \right |=\left | f(u_n)-f(k) \right |\leq \dfrac{5}{16}\left | u_n-k \right |\leq ...\leq \left ( \dfrac{5}{16} \right )^n\left | u_1-k \right |\] Áp dụng định lý kẹp ta được : \[\left | u_{n+1}-k \right |\rightarrow 0\Leftrightarrow u_n\rightarrow k\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 408)

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi $u_{1} = 2011$ và :

$u_{n + 1} = \frac{π}{8} (cos u_{n} + \frac{cos 2 u _{n}}{2} + \frac{cos 3 u _{n}}{3}), \forall n \geq 1$

Chứng minh rằng dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Lời giải :

Ta có :

$(sin x + sin 2 x + sin 3 x)^{2} = (2 sin 2 x . cos x + 2 sin x . cos x)^{2}$

$\leq 4 [(sin 2 x . cos x + sin x . cos x)^{2} + (sin 2 x . sin x - cos^{2} x)^{2}]$

$= 4 (sin^{2} 2 x + cos^{2} x) = 4 (\frac{25}{16} - (cos 2 x - 1/4)^{2}) \leq \frac{25}{4}$

Suy ra :

$∣ sin x + sin 2 x + sin 3 x ∣ \leq \frac{5}{2}$

Xét hàm số :

$f (x) = \frac{π}{8} (cos x + \frac{cos 2 x}{2} + \frac{cos 3 x}{3})$

Có :

$f^{'} (x) = \frac{- π}{8} (sin x + sin 2 x + sin 3 x) \Rightarrow ∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{π}{8} . \frac{5}{2} = \frac{5 π}{16} < 1$

Xét hàm số :

$g (x) = f (x) - x$

Vì $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1 < 0$ nên $g$ là hàm nghịch biến. Hơn nữa có :

$g (0) . g (\frac{π}{6}) = \frac{11 π}{40} . (\frac{- π}{6} + \frac{π}{8} . \frac{1 + 2 3}{4}) < 0$

Vậy phương trình $g (x) = 0$ hay $f (x) = x$ có nghiệm duy nhất trong khoảng $(0, \frac{π}{6})$ .

Gọi nghiệm này là $k$ . Theo định lý Lagrange, tồn tại số thực $r$ để mà :

$f (u_{n}) - f (k) = f^{'} (r) (u_{n} - k) \leq \frac{5 π}{16} (u_{n} - k)$

Mà $f (k) = k$ và $u_{n + 1} = f (u_{n})$ :

$0 \leq ∣ u_{n + 1} - k ∣ = ∣ f (u_{n}) - f (k) ∣ \leq \frac{5}{16} ∣ u_{n} - k ∣ \leq ... \leq (\frac{5}{16})^{n} ∣ u_{1} - k ∣$

Áp dụng định lý kẹp ta được :

$∣ u_{n + 1} - k ∣ \to 0 \Leftrightarrow u_{n} \to k$