Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $E,F,I$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường $(AD,BC),(AB,CD),(AC,BD)$. Gọi $G$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ và $(AEF)$ và $H$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ và $(CEF)$. a) (ELMO Shortlist 2014) Chứng minh rằng $GH,AC,BD$ đồng quy. b) Gọi $Q$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $ABCDEF$. Chứng minh $OQ,AC,BD$ đồng quy. c) Chứng minh bốn điểm $G,O,G,H$ đồng viên. Lời giải : a) Dễ thấy $EF,AG,CH$ đồng quy tại tâm đẳng phương của $(AEF),(CEF),(O)$. Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác $ABG,CDH$ nên để chứng minh $AC,BD,GH$ đồng quy ta đi chứng minh : \[\overline{(AB\cap CD),(BG\cap DH),\left ( AG\cap CH \right )}\] Nhưng dễ thấy $AB\cap CD$ và $AG\cap CH$ đều thuộc đường thẳng $EF$ nên ta phải chứng minh $BG\cap DH$ cũng thuộc $EF$. Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm $(D,A,G,B,C,H)$ ta được $BG\cap DH$ nằm trên đường thẳng nối $AD\cap BC$ và $AG\cap CH$. Dễ thấy đó chính là $EF$, tức là $BG\cap DH$ nằm trên $EF$. Ta hoàn thành câu a. b) Ta sẽ chứng minh $QI$ là phân giác góc $BQD$. Tức là đi chứng minh : \[\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{QD}{QB}\] Dễ thấy hai tam giác $AIB,DIC$ đồng dạng : \[\dfrac{AI}{DI}=\dfrac{BI}{CI}=\dfrac{AB}{CD}\] \[IA.IC=IB.ID\Rightarrow \dfrac{IB}{ID}=\dfrac{IA}{ID}.\dfrac{IC}{ID}=\dfrac{AB}{CD}.\dfrac{IC}{ID}\] Cũng dễ thấy hai tam giác $QAB,QDC$ đồng dạng : \[\dfrac{QA}{QD}=\dfrac{QB}{QC}=\dfrac{AB}{CD}\] \[QA.QC=QB.QD\Rightarrow \dfrac{QB}{QD}=\dfrac{QA}{QD}.\dfrac{QC}{QD}=\dfrac{AB}{CD}.\dfrac{QC}{QD}\] Như vậy ta cần chứng minh : \[\dfrac{IC}{ID}=\dfrac{QC}{QD}\] Thực như vậy, bởi các tam giác $AID,BIC$ đồng dạng nên $\dfrac{IC}{ID}=\dfrac{BC}{AD}$ và vì các tam giác $QAD,QBC$ đồng dạng nên $\dfrac{QC}{QD}=\dfrac{BC}{AD}$. Từ đó $\dfrac{IC}{ID}=\dfrac{QC}{QD}$. Như vậy $QI$ là phân giác góc $BQD$ Gọi $S$ là giao của $BD,EF$. Dễ thấy $Q(DB,IS)=-1$ mà $QI$ là phân giác góc $BQD$ nên theo định lý về chùm điều hòa ta có $QI$ vuông góc $QS$ hay $QI$ vuông góc $EF$. Hơn nữa theo định lý Brocard thì $O$ là trực tâm tam giác $EFI$. Suy ra $OI$ vuông góc $EF$. Ta được $O,I,Q$ thẳng hàng. Hay nói cách khác $OQ,AC,BD$ đồng quy. c) Để ý rằng : \[\angle BQD=2\angle IQD=2\left ( 90^0-\angle FQD \right )=180^0-2\angle BCD=180^0-\angle BOD\] Vậy ta được tứ giác $BODQ$ nội tiếp, kéo theo $IB.ID=IO.IQ$. Mà theo câu a thì $G,H,I$ thẳng hàng nên $IG.IH=IB.ID$ Kéo theo $IO.IQ=IG.IH$. Điều này chứng tỏ bốn điểm $G,H,O,Q$ đồng viên.

Geometry

Bài toán : Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp $(O)$ . $E, F, I$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường $(A D, B C), (A B, C D), (A C, B D)$ . Gọi $G$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ và $(A E F)$ và $H$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ và $(C E F)$ .

a) (ELMO Shortlist 2014)

Chứng minh rằng $G H, A C, B D$ đồng quy.

b) Gọi $Q$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $A B C D E F$ . Chứng minh $O Q, A C, B D$ đồng quy.

c) Chứng minh bốn điểm $G, O, G, H$ đồng viên.

Lời giải :

a) Dễ thấy $E F, A G, C H$ đồng quy tại tâm đẳng phương của $(A E F), (C E F), (O)$ .

Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác $A B G, C D H$ nên để chứng minh $A C, B D, G H$ đồng quy ta đi chứng minh :

$\overline{(A B \cap C D), (B G \cap D H), (A G \cap C H)}$

Nhưng dễ thấy $A B \cap C D$ và $A G \cap C H$ đều thuộc đường thẳng $E F$ nên ta phải chứng minh $B G \cap D H$ cũng thuộc $E F$ .

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm $(D, A, G, B, C, H)$ ta được $B G \cap D H$ nằm trên đường thẳng nối $A D \cap B C$ và $A G \cap C H$ . Dễ thấy đó chính là $E F$ , tức là $B G \cap D H$ nằm trên $E F$ .

Ta hoàn thành câu a.

b) Ta sẽ chứng minh $Q I$ là phân giác góc $B Q D$ . Tức là đi chứng minh :

$\frac{I D}{I B} = \frac{Q D}{QB}$

Dễ thấy hai tam giác $A I B, D I C$ đồng dạng :

$\frac{A I}{D I} = \frac{B I}{C I} = \frac{A B}{C D}$

$I A . I C = I B . I D \Rightarrow \frac{I B}{I D} = \frac{I A}{I D} . \frac{I C}{I D} = \frac{A B}{C D} . \frac{I C}{I D}$

Cũng dễ thấy hai tam giác $Q A B, Q D C$ đồng dạng :

$\frac{Q A}{Q D} = \frac{QB}{QC} = \frac{A B}{C D}$

$Q A . QC = QB . Q D \Rightarrow \frac{QB}{Q D} = \frac{Q A}{Q D} . \frac{QC}{Q D} = \frac{A B}{C D} . \frac{QC}{Q D}$

Như vậy ta cần chứng minh :

$\frac{I C}{I D} = \frac{QC}{Q D}$

Thực như vậy, bởi các tam giác $A I D, B I C$ đồng dạng nên $\frac{I C}{I D} = \frac{B C}{A D}$ và vì các tam giác $Q A D, QB C$ đồng dạng nên $\frac{QC}{Q D} = \frac{B C}{A D}$ . Từ đó $\frac{I C}{I D} = \frac{QC}{Q D}$ .

Như vậy $Q I$ là phân giác góc $B Q D$

Gọi $S$ là giao của $B D, E F$ . Dễ thấy $Q (D B, I S) = - 1$ mà $Q I$ là phân giác góc $B Q D$ nên theo định lý về chùm điều hòa ta có $Q I$ vuông góc $QS$ hay $Q I$ vuông góc $E F$ .

Hơn nữa theo định lý Brocard thì $O$ là trực tâm tam giác $E F I$ . Suy ra $O I$ vuông góc $E F$ . Ta được $O, I, Q$ thẳng hàng.

Hay nói cách khác $O Q, A C, B D$ đồng quy.

c) Để ý rằng :

$∠ B Q D = 2∠ I Q D = 2 (9 0^{0} - ∠ F Q D) = 18 0^{0} - 2∠ B C D = 18 0^{0} - ∠ B O D$

Vậy ta được tứ giác $B O D Q$ nội tiếp, kéo theo $I B . I D = I O . I Q$ . Mà theo câu a thì $G, H, I$ thẳng hàng nên $I G . I H = I B . I D$

Kéo theo $I O . I Q = I G . I H$ . Điều này chứng tỏ bốn điểm $G, H, O, Q$ đồng viên.

Geometry

Đề bài

Mô tả