Functional Equation

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2013)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(x)+2y)=f(x^2)+f(y)+x+y-1,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Ta đặt $g(x)=f(x)-1$, khi đó ta viết phương trình hàm ban đầu dưới dạng :

$$g(xg(x)+x+2y)=g(x^2)+g(y)+x+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $g(0)=0$. Trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$g(2y)=g(y)+y,\forall y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ ta thay $y=-x-xg(x)$ được :

$g(-x-xg(x))$$=g(x^2)+g(-x-xg(x))+x-x-xg(x),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff g(x^2)$$=xg(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Ta sẽ tính $g(4x^2)$ theo hai cách. Ta có :

$$g(4x^2)=g(2x^2)+2x^2=g(x^2)+3x^2=xg(x)+3x^2,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$g(4x^2)=2xg(2x)=2xg(x)+2x^2,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ hai điều trên ta suy ra :

$$xg(x)+3x^2=2xg(x)+2x^2\iff g(x)=x,\forall x\in \mathbb{R},x\ne 0$$

Nhưng $g(0)=0$ nên $g(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy đáp số bài toán là :

$$\boxed{f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{R}}$$