Sequence – Limit

Bài toán : Xét dãy số $(u_n)$ như sau : $u_1=a>0$ và :

$$u_{n+1}={\log }_3\sqrt[3]{u_n^3+1}+\frac{4}{3},\forall n\in \mathbb{N}$$

Chứng minh dãy này có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Dễ thấy $u_n\ge \frac{4}{3}$ với mọi $n\ge 2$.

Xét hàm số $f(x)={\log }_3\sqrt[3]{x^3+1}+\frac{4}{3}$ trên $\left(\frac{4}{3},+\infty \right)$

có đạo hàm :

$$f^{\prime }(x)=\frac{x^2}{(1+x^3).\ln 3}>0$$

Như vậy hàm $f$ đồng biến. Hơn nữa :

$\left|f^{\prime }(x)\right|$$=\frac{x^2}{\ln 3(1+x^3)}$$\le \frac{x^2}{1+x^3}$$=\frac{x^2}{1+x^3/2+x^3/2}$$\le \frac{1}{3\sqrt[3]{4}}$$=q$$<1$

Xét hàm số $g(x)=f(x)-x$ có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1<0$ nên $g$ nghịch biến. Hơn nữa $g(2)=0$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của $g(x)$ trên $\left(\frac{4}{3},+\infty \right)$. Tức là $x=2$ là số thực duy nhất để mà $f(2)=2$.

Theo định lý Lagrange, tồn tại số thực $r$ để :

$f(u_n)-f(2)$$=f^{\prime }(r)\left(u_n-2\right)$$\Rightarrow \left|f(u_n)-f(2)\right|$$=|f^{\prime }(r)|.|u_n-2|$$\le q\left|u_n-2\right|$

Suy ra :

$$0\le |u_{n+1}-2|\le q|u_n-2|\le q^2|u_{n-1}-2|\le ...\le q^n|u_1-2|$$

Chú ý vì $q<1$ nên $q^n\to 0$. Áp dụng định lý kẹp, ta được :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$$