Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2008)

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi :

${x_{1} = 0, x_{2} = 2 x_{n + 2} = 2^{- x_{n}} + \frac{1}{2}, \forall n \geq 1$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Lời giải :

Xét hàm số $f (x) = 2^{- x} + \frac{1}{2}$ trên $R$ có $f^{'} (x) = \frac{- ln 2}{2 ^{x}} < 0$ nên $f$ là hàm nghịch biến trên $R$ .

Ta thấy $x_{n} \geq 0, \forall n \in N^{*}$ . Suy ra :

$x_{n + 1} = f (x_{n}) \leq f (0) = \frac{3}{2}$

Như vậy dãy $(x_{n})$ là dãy bị chặn :

$0 \leq x_{n} \leq \frac{3}{2}, \forall n \in N^{*}$

Ta có thể kiểm tra được :

$x_{1} < x_{5}, x_{2} > x_{6}, x_{3} > x_{7}, x_{4} < x_{8}$

Hơn nữa ta có :

$x_{n + 4} = f (x_{n + 2}) = f (f (x_{n})) = g (x_{n})$

Với $g (x) = f (f (x))$ . Do $f$ nghịch biến nên $g$ đồng biến. Từ đó mà :

$x_{9} = g (x_{5}) > g (x_{1}) = x_{5}$

$x_{10} = g (x_{6}) < g (x_{2}) = x_{6}$

$x_{11} = g (x_{7}) < g (x_{3}) = x_{7}$

$x_{12} = g (x_{8}) > g (x_{4}) = x_{8}$

Quy nạp lên ta được :

$x_{1} < x_{5} < x_{9} < x_{13} < ... < x_{4 k + 1} < ....$

$x_{2} > x_{6} > x_{10} > .... > x_{4 k + 2} > ...$

$x_{3} > x_{7} > x_{11} > .... > x_{4 k + 3} > ....$

$x_{4} < x_{8} < x_{12} < .... < x_{4 k + 4} < ....$

Điều này đồng nghĩa các dãy $(x_{4 k + 1}), (x_{4 k + 4})$ là các dãy tăng và các dãy $(x_{4 k + 2}), (x_{4 k + 3})$ là các dãy giảm.

Hơn nữa các dãy này đều bị chặn. Từ đó chúng đều hội tụ. Gỉa sử các dãy $(x_{4 k + 1}), (x_{4 k + 2}), (x_{4 k + 3}), (x_{4 k + 4})$ lần lượt hội tụ về $x, y, z, t$ thì chuyển qua giới hạn, ta được hệ :

$⎩ ⎨ ⎧ t = 2^{- y} + 1/2 = f (y) z = 2^{- x} + 1/2 = f (x) y = 2^{- t} + 1/2 = f (t) x = 2^{- z} + 1/2 = f (z)$

Rõ ràng hệ này cho nghiệm $y = t, z = x$ . Tức là hai dãy $(x_{4 k + 2}), (x_{4 k + 4})$ cùng hội tụ về một giới hạn là $y$ và hai dãy $(x_{4 k + 1}), (x_{4 k + 3})$ cùng hội tụ về một giới hạn là $x$ . Hay nói cách khác $(x_{2 k + 1})$ hội tụ về $x$ còn $(x_{2 k})$ hội tụ về $y$ . Lại chuyển qua giới hạn lần nữa :

${x = 2^{- y} + 1/2 y = 2^{- x} + 1/2$

Ta được $x = y$ và dẫn đến việc giải phương trình :

$x = 2^{- x} + 1/2$

Ta xét hàm số $h (x) = x - \frac{1}{2 ^{x}}$ trên $[0, \frac{3}{2}]$ . Hàm này có đạo hàm :

$h^{'} (x) = 1 + \frac{ln 2}{2 ^{x}} > 0$

Nên $h$ là hàm đồng biến mà $h (1) = 1/2$ nên $x = 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình trên.

Từ đó giới hạn của dãy $(x_{n})$ là :

$n \to + \infty lim x_{n} = 1$

Nhận xét : Thực ra ta không cần quan tâm đến tính tăng giảm của các dãy con $(x_{4 k + i})$ với $i = 1, 2, 3, 4$ mà chỉ cần biết chúng đơn điệu là đủ.

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả