Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left[f^2(x)+y^2\right],\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta thay $y=\frac{1}{2}\left[x^4-f(x)\right]$, được :

$f(x)\left[x^4-f(x)\right]\left[f^2(x)+{\left(x^4-f(x)\right)}^2\right]$$=0,\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Dễ thấy từ $(2)$ ta suy ra được các hàm $f(x)\equiv 0,f(x)\equiv x^4$ là thỏa mãn bài ra. Ta sẽ chứng minh ngoài hai hàm này không còn hàm nào khác thỏa đề. Gỉa sử $f(x)\not\equiv 0,f(x)\not\equiv x^4$. 

Trong $(2)$ cho $x=0$ được $f(0)=0$. Trong $(1)$ lấy $x=0$ được $f(y)=f(-y),\forall y\in \mathbb{R}$.

Do đó tồn tại $a,b\ne 0$ sao cho $f(a)=0,f(b)=b^4$.

Hơn nữa do hàm $f$ chẵn nên ta có thể giả sử $b>0$. Trong $(1)$ cho $x=a,y=-b$ :

$$f(-b)=f(a^4+b)$$

Do $f(-b)=f(b)=b^4$ nên $f(a^4+b)=b^4\ne 0$, từ $(2)$ suy ra $f(a^4+b)=(a^4+b{)}^4$. Suy ra :

$$b^4=(a^4+b{)}^4$$

Rõ ràng điều này không thể với $a\ne 0,b>0$. Kết luận :

$$\boxed{f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R};f(x)=x^4,\forall x\in \mathbb{R}}$$