Geometry

Bài toán (Đề thi thử sức – Đồng hành cùng gặp gỡ toán học 2014)

Gọi $B,C$ là hai điểm nằm trên hai cạnh $AP,PD$ của tam giác nhọn $APD$. $Q$ là giao của $AC,BD$. $M,N$ là trung điểm của $AC,BD$. Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ,CDQ$ và $Y$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $BCQ,ADQ$.

a) Chứng minh năm điểm $X,Y,M,N,Q$ đồng viên.

b) Gọi $H_1,H_2$ lần lượt là trực tâm các tam giác $APD,BPC$. Chứng minh nếu $H_1{H}_2$ đi qua $X$ thì $H_1{H}_2$ cũng đi qua $Y$.

Lời giải :

a) Dễ thấy hai tam giác $ACX,BDX$ đồng dạng. Suy ra :

$$\frac{AX}{AC}=\frac{BX}{BD}\Rightarrow \frac{AX}{AM}=\frac{BX}{BN}(AC=2AM,BD=2BN)$$

Từ đó lại suy ra hai tam giác $AMX,BNX$ đồng dạng. Suy ra :

$$\angle AMX=\angle BNX\Rightarrow \angle XMC=\angle XMD$$

Như vậy bốn điểm $X,M,N,Q$ đồng viên.

Tương tự hai tam giác $BYN,CYM$ đồng dạng. Cũng suy ra được $Y,M,N,Q$ đồng viên.

Như vậy năm điểm $X,Y,M,N,Q$ đồng viên.

b) Dễ thấy $H_1{H}_2$ chính là trục đẳng phương của đường tròn đường kính $AC,BD$.

Vì $H_1{H}_2$ đi qua $X$ hay $X$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên. Kéo theo :

$P_{X/(AC)}$$=P_{X/(BD)}$$\Rightarrow X{M}^2-\frac{A{C}^2}{4}$$=X{N}^2-\frac{B{D}^2}{4}$$\Rightarrow X{M}^2-X{N}^2$$=\frac{A{C}^2-B{D}^2}{4}$

Do hai tam giác $AXM,BXN$ đồng dạng nên :

$$\frac{XM}{XN}=\frac{AM}{BN}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow XM=\frac{AC}{BD}.XN$$

Do vậy :

$X{N}^2\left(\frac{A{C}^2}{B{D}^2}-1\right)$$=\frac{A{C}^2-B{D}^2}{4}$$\Rightarrow \left(A{C}^2-B{D}^2\right)\left(X{N}^2-\frac{B{D}^2}{4}\right)$$=0$

Nếu $X{N}^2=B{D}^2/4\Rightarrow XN=BD/2$ thì do $N$ là trung điểm của $BD$ nên tam giác $BNX$ vuông tại $X$. Tức là :

$\angle BXD$$=90^0$$\Rightarrow \angle BXQ+\angle QXD$$=90^0$$\Rightarrow \angle PAC+\angle ACP$$=90^0$$\Rightarrow \angle APD$$=90^0$

Nhưng điều này mâu thuẫn vì tam giác $APD$ nhọn. 

Như vậy phải có $AC=BD$.

Lại có $\frac{YM}{YN}=\frac{AC}{BD}=1$ nên $YM=YN$. Kéo theo :

$$P_{Y/(AC)}=Y{M}^2-A{C}^2/4=Y{N}^2-B{D}^2/4=P_{Y/(BD)}$$

Suy ra $Y$ thuộc trục đẳng phương của $(AC),(BD)$. Hay $H_1{H}_2$ đi qua $Y$.