Geometry

Bài toán : (Kiểm  tra Trường hè Lê Qúy Đôn 2014)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Các cặp đường thẳng $(AB,CD),(AD,BC),(AC,BD)$ có giao điểm là $E,F,G$. Gọi $H$ là giao của hai đường tròn $(ADE),(DCF)$. Gọi $I$ là giao của phân giác góc $AHB$ và $AB$. Gọi $J$ là giao của phân giác góc $CHD$ và $CD$. Chứng minh $I,G,J$ thẳng hàng.

Lời giải :

Chú ý điểm $H$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $ABCDEF$.

Ta có :

$$\angle HDA=\angle HCB,\angle HAD=180^0-\angle HAF=180^0-\angle HBF=\angle HBC$$

Từ đây ta suy ra hai tam giác $AHD,BHC$ đồng dạng. Như vậy :

$$\frac{HA}{HB}=\frac{AC}{BC}=\frac{AG}{BG}$$

Mà theo tính chất phân giác $\frac{HA}{HB}=\frac{IA}{IB}$, kéo theo $\frac{AG}{GB}=\frac{IA}{IB}$

Tức là $GI$ là phân giác góc $GAB$. Tương tự $GJ$ là phân giác góc $GCD$

Mà $GAB,GCD$ là hai góc đối đỉnh. Ta được $G,I,J$ thẳng hàng.