Functional Equation

Bài toán (Czech – Polish – Slovak Match 2001)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Đặt $f(0)=a$. Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được :

$$f(0)+f(f(0))=2f(f(0))\iff f(a)=a$$

Trong $(1)$ thay $x=0,y=a$ :

$$f(a)+f(0)=2f(f(0))+2a^2\iff f(a)=a-2a^2$$

Như vậy ta được $a-2a^2=a\iff a=0$. Tức là $f(0)=0$. 

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(x)$  và chú ý $f(0)=0$ :

$$f(x^2+f(x))=2f(f(x))+2f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $y=-x^2$ và chú ý $f(0)=0$ :

$$f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ hai điều trên ta suy ra :

$f^2(x)$$=x^4,\forall x\in \mathbb{R}$$\iff \left[f(x)-x^2\right]\left[f(x)+x^2\right]$$=0,\forall x\in \mathbb{R}$

Dễ dàng kiểm tra được hàm $f(x)\equiv x^2$, còn hàm $f(x)\equiv -x^2$ không thỏa đề. Ta sẽ chứng minh :

$$f(x)\ne -x^2,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$$

Gỉa sử tồn tại $b\ne 0$ sao cho $f(b)=-b^2$.

Trong $(1)$ lấy $y=0$ :

$$f(x^2)=f(f(x)),\forall x\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(1)$ lấy $x=0$ :

$$f(y)+f(-y)=2y^2,\forall y\in \mathbb{R}(3)$$

Trong $(2)$ lấy $x=b$ :

$$f(b^2)=f(f(b))=f(-b^2)$$

Trong $(3)$ lấy $y=b^2$ :

$$f(b^2)+f(-b^2)=2b^2\iff f(b^2)=b^2$$

Suy ra $f(f(b))=b^2$.

Trong $(1)$ lấy $x=b,y=-b^2$ :

$$f(b^2-b^2)+f(f(b)+b^2)=2f(f(b))+2b^4\iff b^4+b^2=0\iff b=0$$. 

Mâu thuẫn. Như vậy ta kết luận được :

$$\boxed{f(x)=x^2,\forall x\in \mathbb{R}}$$