Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán : Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau :

${x_{0}, x_{1}, x_{2} \in R 3^{x_{n}} + 4^{x_{n + 2}} = 5^{x_{n + 3}}, \forall n \in N$

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Lời giải :

Ta có thể viết công thức xác định dãy dưới dạng :

$x_{n + 3} = lo g_{5} (3^{x_{n}} + 4^{x_{n + 2}})$

Ta đi xét hai dãy phụ sau :

$(a_{n}) : {a_{1} = min {x_{0}, x_{1}, x_{2}, 2} a_{n + 1} = lo g_{5} (3^{a_{n}} + 4^{a_{n}})$

$(b_{n}) : {b_{1} = ma x {x_{0}, x_{1}, x_{2}, 2} b_{n + 1} = lo g_{5} (3^{b_{n}} + 4^{b_{n}})$

Ta thấy $a_{1} \leq 2$ nên $a_{2} = lo g_{5} (3^{a_{1}} + 4^{a_{1}}) \leq lo g_{5} (3^{2} + 4^{2}) = 2$ .

Quy nạp lên được $a_{n} \leq 2, \forall n \in N^{*}$ .

Tiếp theo ta chứng minh dãy $(a_{n})$ tăng. Thực vậy, ta thấy :

$5^{a_{2}} = 3^{a_{1}} + 4^{a_{1}} \Rightarrow 5^{a_{2} - a_{1}} = (\frac{3}{5})^{a_{1}} + (\frac{4}{5})^{a_{1}} \geq (\frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = 1 \Rightarrow a_{2} \geq a_{1}$

Quy nạp lên ta được dãy $(a_{n})$ tăng, bản thân $(a_{n})$ còn bị chặn trên nên nó sẽ hội tụ. Gỉa sử giới hạn của nó là $a$ . Chuyển qua giới hạn :

$3^{a} + 4^{a} = 5^{a} \Leftrightarrow (\frac{3}{4})^{a} + (\frac{4}{5})^{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2$

Như vậy $n \to + \infty lim a_{n} = 2$ .

Hoàn toàn tương tự, dãy $(b_{n})$ bị chặn dưới và là dãy giảm, ta cũng tìm được $n \to + \infty lim b_{n} = 2$ .

Tiếp theo ta sẽ chứng minh :

$a_{n} \leq min {x_{3 n - 3}, x_{3 n - 2}, x_{3 n - 1}} (*)$

Với $n = 1$ thì hiển nhiên. Gỉa sử có điều này. Ta xét với $n + 1$ :

$x_{3 n} = lo g_{5} (3^{x_{3 n - 3}} + 4^{x_{3 n - 1}}) \geq lo g_{5} (3^{a_{n}} + 4^{a_{n}}) = a_{n + 1}$

$x_{3 n + 1} = lo g_{5} (3^{x_{3 n - 2}} + 4^{x_{3 n}}) \geq lo g_{5} (3^{a_{n}} + 4^{a_{n + 1}}) \geq lo g_{5} (3^{a_{n}} + 4^{a_{n}}) = a_{n + 1}$

$x_{3 n + 2} = lo g_{5} (3^{x_{3 n - 1}} + 4^{x_{3 n + 1}}) \geq lo g_{5} (3^{a_{n}} + 4^{a_{n + 1}}) \geq lo g_{5} (3^{a_{n}} + 4^{a_{n}}) = a_{n + 1}$

Ta quy nạp hoàn tất, tức $(*)$ là đúng.

Cũng hoàn toàn tương tự, ta được :

$b_{n} \geq max {x_{3 n - 3}, x_{3 n - 2}, x_{3 n - 1}}$

Từ đó bằng nguyên lí kẹp, ta được :

$n \to + \infty lim x_{3 n + 1} = n \to + \infty lim x_{3 n + 2} = n \to + \infty lim x_{3 n + 3} = 2$

Kết luận bài toán :

$n \to + \infty lim x_{n} = 2$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả