1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho nửa đường tròn tâm đường kính . là một điểm trên tia đối tia . Một cát tuyến qua cắt nửa đường tròn tại sao cho . Gọi là giao của . Chứng minh vuông góc . Lời giải : Gọi là giao điểm của và là giao điểm của . […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức : Lời giải : Áp dụng BĐT AM-GM : Tức là : Ta có : Theo AM-GM : Cộng vế theo vế hai kết quả trên thì được : Suy ra : Từ đó ta được : Lại được tiếp : Thiết […]
Bài toán : Cho theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh rằng ta luôn có : Lời giải : Gọi ba cạnh của tam giác là . Đặt . Ta biểu thị các đại lượng theo . Ta có : […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo BĐT AM-GM : Suy ra : Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta được điều phải chứng minh.
Bài toán (ELMO Shortlist 2012) Cho tam giác và tâm nội tiếp , là chân vuông góc của xuống , là chân vuông góc của xuống . Chứng minh . Lời giải : Gọi là đường tròn đường kính . Dễ dàng thấy rằng theo thứ tự là trục đẳng phương của các cặp đường […]
Thái Bình : 1. Chọn đội tuyển VMO tỉnh Thái Bình 2014-2015 Đồng Nai : 1. Chọn đội tuyển vòng trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2014-2015 2. Chọn đội dự tuyển VMO tỉnh Đồng Nai 2014-2015 (xem thêm tại đây) Phú Thọ : 1. Chọn đội tuyển quốc gia THPT Chuyên […]
ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR Định nghĩa : Cho tam giác nội tiếp và ngoại tiếp . Khi đó đường tròn tiếp xúc trong với và tiếp xúc với hai cạnh của tam giác được gọi là đường tròn Mixtilinear ứng với góc của tam giác . Xét tam giác nội tiếp và ngoại tiếp . Kí hiệu theo thứ tự […]
Bài toán : Tìm tất cả các bộ số tự nhiên với là các số nguyên tố thoả mãn Lời giải : Dễ thấy đều lẻ. Xét theo modulo 5 : Từ đây suy ra hoặc hoặc . Không giảm tổng quát ta có thể giả sử . Ta có : Rõ ràng ta có : Nhưng . Suy […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO chính thức tỉnh Đồng Nai 2014-2015) Tìm tất cả các hàm số và thoả : Lời giải : Đặt ta được Cho được : Nếu thì là hàm hằng, thử lại không thoả. Do vậy . Trong cho : Từ đây suy ra toàn ánh. Trong cho : Từ đó viết […]
Bài toán : Cho đa thức với là các số thực và thoả mãn . Chứng minh rằng ta luôn có : Lời giải : Tổng quát : Cho đa thức thoả mãn . Chứng minh rằng ta luôn có :
ĐỀ THI THỬ VMO 2015 CỦA VIỆN TOÁN HỌC
Bài toán (Đề thi thử VMO 2015 Viện Toán Học) Cho tam giác nhọn có là trung điểm . Gọi là đường tròn đường kính . cắt tại . cắt nhau tại . a) Chứng minh đi qua trung điểm của . b) Gọi là một điểm cố định trên đoạn . Một đường thẳng thay đổi qua cắt tại . Cho cắt tại […]
Bài toán (Đề thi thử VMO 2015 Viện Toán Học) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của và là trực tâm tam giác . Cho cắt tương ứng tại . Tia cắt tại . Trên đường thẳng lấy điểm sao cho song song . a) Chứng minh tiếp xúc với . b) Gọi […]
Bài toán (China Team Selection Test 2008) Cho tam giác nhọn có là tâm nội tiếp. là hai trung điểm cung nhỏ của đường tròn ngoại tiếp tam giác và là trung điểm . Lấy là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ của . Gọi theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác . là giao điểm thứ hai […]
Bài toán : Cho tam giác với có ba đường cao tại . Biết cắt tại . Trung trực cắt tại . Gọi theo thứ tự là trung điểm của và là hình chiếu của lên . a) Chứng minh vuông góc với . b) Chứng minh là tiếp tuyến chung của và Lời giải :
Bài toán : Xét dãy số xác định bởi và : Tìm các số thực để hai dãy có giới hạn hữu hạn. Lời giải : Ta dễ dàng thấy : Từ đó ta suy ra rằng : Ta xét các trường hợp sau : a) Trường hợp 1 : Nếu . Ta lần lượt tính được . […]
Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp , gọi theo thứ tự là giao của và . Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Gọi theo thứ tự là trực tâm các tam giác . Chứng minh tứ giác là hình bình hành. Lời giải : Bổ đề : Cho tam giác có là […]
MỘT LỚP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC Sau đây là một số ví dụ và cách giải cho một lớp các bất đẳng thức có chứa các đại lượng : Ví dụ 1 (Chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm 2010-2011) Cho các số không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Lời […]