Geometry

Bài toán : Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. $M$ là một điểm trên tia đối tia $BA$. Một cát tuyến qua $M$ cắt nửa đường tròn tại $C,D$ sao cho $MD<MC$. Gọi $K$ là giao của $(AOC),(BOD)$. Chứng minh $MK$ vuông góc $OK$.

Lời giải :

Gọi $X$ là giao điểm của $AC,BD$ và $Y$ là giao điểm của $AD,BC$.

Dễ thấy $X$ chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn $(O),(AOC),(BOD)$ nên $X,O,K$ thẳng hàng.

Ta sẽ chứng minh $K,Y,M$ thẳng hàng.

Ta có :

$\angle AKB$$=\angle AKO+\angle OKB$$=\angle ACO+\angle ODB$$=\angle CAO+\angle ODB$$=\left(\angle CAD+\angle DAO\right)+\left(\angle ADB-\angle ADO\right)$$=\angle CAD+\angle CAY$$=\angle AYB$

Vậy ta có tứ giác $AKYB$ nội tiếp. 

Từ đó cũng dễ thấy luôn tứ giác $CKYD$ nội tiếp. Từ đó vì $M$ cùng phương tích với hai đường tròn $(AKYB),(CKYD)$ nên $M$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn này tức $M$ thuộc $KY$. Ta được $M,K,Y$ thẳng hàng.

Theo định lý Brocard thì $O$ là trực tâm tam giác $XYM$ nên $MY$ vuông góc $OX$ hay $MK$ vuông góc $OK$.