Functional Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO chính thức tỉnh Đồng Nai 2014-2015)

Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thoả :

$$g\left[g(x)-x^2+yz\right]=g(x)\left[g(x)-2x^2+2yz\right]+z^2\left[y^2-g(y)\right]$$
$$+y^2\left[z^2-g(z)\right]-2x^{2}yz+x+g(y)g(z)+x^4,\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Đặt $f(x)=g(x)-x^2$ ta được

$$f(f(x)+yz)=x+f(y)f(z),\forall x,y,z\in \mathbb{R}(1)$$

Cho $x=y=0$ được :

$$f(f(0))=f(z)f(0),\forall z\in \mathbb{R}$$

Nếu $f(0)\ne 0$ thì $f$ là hàm hằng, thử lại không thoả. Do vậy $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$$f(f(x))=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra $f$ toàn ánh. Trong $(1)$ cho $x=0$ :

$$f(yz)=f(y)f(z),\forall y,z\in \mathbb{R}$$

Từ đó viết PTH đã cho dưới dạng :

$$f(f(x)+yz)=f(f(x))+f(yz),\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$

Do $f$ toàn ánh nên $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Hàm $f$ vừa cộng tính, vừa nhân tính nên $f(x)=ax,\forall x\in \mathbb{R}$.

Thử lại $a=1$.

Hàm thoả đề là

$$\boxed{g(x)=x^2+x,\forall x\in \mathbb{R}}$$