Geometry

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$, gọi $E,F$ theo thứ tự là giao của $AB,CD$ và $AD,BC$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$. Gọi $H,K$ theo thứ tự là trực tâm các tam giác $MEF,NEF$. Chứng minh tứ giác $HNKM$ là hình bình hành.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trực tâm. Gọi $K$ là giao của $AM$ với cung $BC$ chứa $H$ của $(HBC)$. Chứng minh $HK$ vuông góc $AM$.

Chứng minh bổ đề :

Gọi $AD,BE,CF$ là ba đường cao của tam giác $ABC$. Gọi $G$ là giao $EF,BC$ và $GH$ giao $AM$ tại $K^{\prime }$. Ta chứng minh $K$ trùng $K^{\prime }$.

Thật vậy, theo định lí Brocard thì $M$ là trực tâm tam giác $GHA$ nên $G{K}^{\prime }$ vuông góc $AM$.

Từ đó $K^{\prime }$ thuộc $(AEHF)$. Từ đó $GH.G{K}^{\prime }=GF.GE=GB.GC$. Suy ra $K^{\prime }$ thuộc $(HBC)$. Từ đó $K$ trùng $K^{\prime }$. Hơn nữa ta cũng đã chứng minh $G{K}^{\prime }\perp AM$. Bổ đề được chứng minh.

Trở lại với bài toán :

Gọi $X,Y$ theo thứ tự là giao của $AC,BD$ với $EF$ và $P$ là trung điểm của $EF$. Theo định lí về đường thẳng Gauss-Newtion thì $P,M,N$ thẳng hàng.

Gọi $G$ là giao của $AC,BD$. Dễ thấy $(XG,CA)=-1$ (hàng điều hoà tứ giác toàn phần) và do $M$ là trung điểm $CA$ nên theo hệ thức Maclaurin thì $GM.GX=GC.GA$.

Hoàn toàn tương tự ta có $GN.GY=GB.GD$. Lại dễ thấy $GA.GC=GB.GD$ nên có $GN.GY=GM.GX$.

Từ đây suy ra tứ giác $XYMN$ nội tiếp. Ta suy ra :

$$PX.PY=PM.PN(1)$$

Lại cũng có $(EF,XY)=-1$ và $P$ là trung điểm $EF$ nên theo hệ thức Newton thì $PX.PY=P{E}^2=P{F}^2(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$$\Delta PFN\sim \Delta PMF,\Delta PEN\sim \Delta PME$$

Từ đây thì :

$$\angle PMF=\angle PFN,\angle PME=\angle PEN$$

Kéo theo :

$\angle EMF$$=\angle PME+\angle PMF$$=\angle PEN+\angle PFM$$=180^0-\angle ENF$$\Rightarrow \angle ENF$$=\angle EHF$

Điều này cho ta $FHNE$ nội tiếp. Khi đó áp dụng bổ đề ta có $HN$ vuông góc $MP$.

Hoàn toàn tương tự thì $FMKE$ nội tiếp và $KM$ vuông góc $MP$. Suy ra $HN$ song song $KM$.

Lại có $HM$ song song $NK$ do cùng vuông góc $EF$. Từ đó có $HNKM$ là hình bình hành.