Geometry

Bài toán (ELMO Shortlist 2012)

Cho tam giác $ABC$ và tâm nội tiếp $(I)$, $D$ là chân vuông góc của $I$ xuống $BC$, $P$ là chân vuông góc của $I$ xuống $AD$. Chứng minh $\angle BPD=\angle CPD$.

Lời giải :

Gọi $(c)$ là đường tròn đường kính $ID$. Dễ dàng thấy rằng $BC,IP,EF$ theo thứ tự là trục đẳng phương của các cặp đường tròn $(c)$ và $(I)$, $(c)$ và $(AFPIE)$, $(AFPIE)$ và $(I)$. Như vậy $BC,IP,EF$ đồng quy tại $J$.

Từ đó dễ thấy $(JD,BC)=-1$ mà $PI$ vuông góc $PD$ nên theo định lý về chùm điều hòa ta được $\angle BPD=\angle CPD$