Geometry

Bài toán (Đề thi thử VMO 2015 Viện Toán Học)

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $D,E,F$ là trung điểm $BC,CA,AB$. Gọi $(I)$ là đường tròn đường kính $AD$. $(I)$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. $MN,EF$ cắt nhau tại $P$.

a) Chứng minh $(DIP)$ đi qua trung điểm $Q$ của $MN$.

b) Gọi $G$ là một điểm cố định trên đoạn $EF$. Một đường thẳng thay đổi qua $G$ cắt $(I)$ tại $H,K$. Cho $KF,HE$ cắt $(I)$ tại $R,S$. Chứng minh trung điểm $T$ của $RS$ thuộc một đường tròn cố định.

Lời giải :

a) Dễ thấy $\angle IQP=90^0$ nên chỉ cần chỉ ra $\angle IDP=90^0$ hay $DP$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $D$ thì bài toán xong.

Gọi $L$ là giao của $(I)$ với trung trực của $BC$ và $J$ là trung điểm của $LD$.

Ta dễ dàng thấy :

$\angle MJN$$=\angle MFD+\angle NED$$=2\angle BAC$$=2(\angle MAD+\angle DAN)$$=\angle MID+\angle NID$$=\angle MIN$

Suy ra rằng $IJNM$ nội tiếp. Khi đó gọi $d^{\prime }$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(I)$ thì $d^{\prime },IJ,MN$ đồng quy tại $P$ vì tương ứng là trục đẳng phương của hai trong ba đường tròn $(I),(IJNM)$ và đường tròn đường kính $ID$.

Suy ra $DP$ trùng $d^{\prime }$ tức $DP$ là tiếp tuyến của $(I)$

b) Ta phát biểu và chứng minh một bổ đề là mở rộng của định lí con bướm (Butterfly Theorem) :

Bổ đề (Mở rộng định lí con bướm)

Cho dây cung $PQ$ của $(O)$ và $M$ là trung điểm của $PQ$. $Z,W$ là các điểm trên $AB$ sao cho $MZ=MW$. Gọi $AB,CD$ theo thứ tự qua $W,Z$ là các dây cung của $(O)$. $PQ$ theo thứ tự cắt $AD,BC$ tại $X,Y$. Khi đó ta có $MX=MY$.

Chứng minh bổ đề :

Gọi $S$ là giao của $AD,BC$. Xét tam giác $SXY$ và hai cát tuyến $CZD,AWB$ . Sử dụng định lí Menelaus :

$$\frac{CS}{CY}.\frac{ZY}{ZX}.\frac{DX}{DS}=1,\frac{AS}{AX}.\frac{WX}{WY}.\frac{BY}{BS}=1$$

Kéo theo :

$$\frac{CS.ZY.DX.AX.WY.BS}{CY.ZX.DS.AS.WX.BY}=1$$

Dễ thấy $CS.BS=AS.DS$ và $DX.AX=PX.QX,CY.BY=PY.QY$ ta được :

$$\frac{PX.QX.WY.ZY}{PY.YQ.ZX.WX}=1$$

Đặt $PM=QM=a,MZ=MW=b,MX=x,MY=y$ ta được :

$\frac{(a-x)(a+x)(y-b)(y+b)}{(a+y)(a-y)(x-b)(x+b)}$$=1$$\iff (a^2-x^2)(y^2-b^2)$$=(a^2-y^2)(x^2-b^2)$$\iff (a^2-b^2)(x^2-y^2)$$=0$

Rõ ràng nếu $a=b$ thì bài toán trở thành định lí con bướm. Còn nếu $a\ne b$ thì $x=y$ tức $MX=MY$.

Suy ra điều phải chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Gọi $V$ là giao của $EF$ với $RS$. Ta thấy $I$ là trung điểm của đường kính $EF$, từ đó theo bổ đề trên thì ta được $I$ là trung điểm của $GV$. Do $G,I$ cố định nên $V$ cũng cố định. Từ đó không khó để thấy $T$ thuộc đường tròn đường kính $IV$ , đây là một đường tròn cố định.