Diophante Equation, Hensel Lemma

Bài toán :

Tìm tất cả các bộ số tự nhiên $(m,p,q,x,y)$ với $p,q$ là các số nguyên tố thoả mãn 

$$2^{4m+2}+1=p^x{q}^y$$

Lời giải :

Dễ thấy $p,q$ đều lẻ.

Xét theo modulo 5 :

$$p^x.q^y=2^{4m+2}+1\equiv 0(\mathrm{mod}5)$$

Từ đây suy ra hoặc $p=5$ hoặc $q=5$. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử $p=5$. Ta có :

$$2^{4m+2}+1=5^x{q}^y\iff (2^{2m+1}+1+2^{m+1})(2^{2m+1}+1-2^{m+1})=5^x.q^y$$

Rõ ràng ta có :

$$\gcd (2^{2m+1}+1+2^{m+1},2^{2m+1}+1-2^{m+1})\mid 2^{m+2}$$

Nhưng $\gcd (2^{2m+1}+1+2^{m+1},2^{2m+1}+1-2^{m+1})\mid 5^x.q^y$. Suy ra $\gcd (2^{2m+1}+1+2^{m+1},2^{2m+1}+1-2^{m+1})=1$.

Từ đây xét ba khả năng :

• Khả năng 1 :

$$\{\begin{array}{c}{2}^{2m+1}+2^{m+1}+1=5^x\\ 2^{2m+1}-2^{m+1}+1=q^y\end{array}$$

Mặt khác, theo bổ đề LTE :

$$v_5(5^x.q^y)=v_5(2^{4m+2}+1)=v_5(4^{2m+1}+1)=v_5(4+1)+v_5(2m+1)\Rightarrow x=1+v_2(2m+1)$$

Từ đây ta được :

$$5^x=5^{1+v_5(2m+1)}\le 5(2m+1)$$

Như vậy ta có :

$$2^{2m+1}+2^{m+1}+1\le 5(2m+1)\Rightarrow m\in \left\{0,1\right\}$$

Với $m=0$ thì $5^x=5,q^y=1$. Từ đây được $x=1,y=0,q\in \mathbb{P}$.

Với $m=1$ thì $5^x=13$, ta gặp mâu thuẫn.

Tóm lại ta được bộ $(m,x,y,p,q)=(0,1,0,5,q),(0,1,0,q,5)$.

• Khả năng 2 :

$$\{\begin{array}{c}{2}^{2m+1}+2^{m+1}+1=q^y\\ 2^{2m+1}-2^{m+1}+1=5^x\end{array}$$

Cũng tương tự khả năng 1 thì :

$$2^{2m+1}+1\le 5(2m+1)+2^{m+1}\Rightarrow m\in \left\{0,1,2\right\}$$

Với $m=0$ thì $q^y=5$ và $1=5^x$. Suy ra $x=0$ và $q=5,y=1$.

Với $m=1$ thì $13=q^y,5=5^x$. Suy ra $x=1,q=13,y=1$.

Với $m=2$ thì $41=q^y,25=5^x$. Suy ra $x=2,q=41,y=1$.

• Khả năng 3 :

$$\{\begin{array}{c}{2}^{2m+1}+2^{m+1}+1=5^x.q^y\\ 2^{2m+1}-2^{m+1}+1=1\end{array}$$

Dễ dàng thấy $m=0$. Suy ra $5^x.q^y=1$. Từ đó $x=y=0$ và $q\in \mathbb{P}$.

Kết luận :

$(m,x,y,p,q)$$=(0,1,0,5,r),(0,1,0,r,5),(0,0,1,5,5),(1,1,1,5,13),(1,1,1,13,5),(2,2,1,5,41),(2,1,2,41,5),(0,0,0,5,r),(0,0,0,r,5)$

Trong đó $r$ là số nguyên tố lẻ tuỳ ý.