Geometry

Bài toán (Đề thi thử VMO 2015 Viện Toán Học)

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Cho $BH,CH$ cắt $CA,AB$ tương ứng tại $E,F$. Tia $IH$ cắt $(O)$ tại $T$. Trên đường thẳng $EF$ lấy điểm $D$ sao cho $HD$ song song $BC$.

a) Chứng minh $DT$ tiếp xúc với $(HEF)$.

b) Gọi $M,N$ là giao theo thứ tự của $EF$ với $(IBT),(ICT)$ thoả $M$ khác phía $E$ đối với $F$ và $N$ khác phía $F$ đối với $E$. Gọi $P$ là giao của $AH$ với $(O)$. Chứng minh $BN,CM,TP$ đồng quy.

Lời giải :

a) Theo định lí Brocard thì $TI$ vuông góc $JA$, điều này cho ta $T$ thuộc $(AFHE)$.

Gọi $J$ là giao $BC$ với $EF$. Vì $JE.JF=JB.JC$ hay $J$ có cùng phương tích với $(HEF)$ và $(O)$. Suy ra $J$ thuộc trục đẳng phương của chúng, tức $J$ thuộc $TA$.

Ta thấy :

$$\angle FDH=\angle FCB=\angle HEF$$

Điều này chứng tỏ là $DH$ là tiếp tuyến của $(HEF)$.

Mặt khác, $DH$ song song $BC$ và $I$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $H(BC,DI)=-1$.

Hay là $H(EF,HT)=-1$. Suy ra tứ giác $TFHE$ điều hoà, lại có $EF$ cắt tiếp tuyến tại $H$ của $(HEF)$ tại $D$ nên $DT$ là tiếp tuyến của $(HEF)$.

b) Ta có $T(BE,JH)=-1$ và $TI$ vuông góc $JA$ nên theo định lí chùm điều hoà ta có $TI$ là phân giác góc $BTE$ hay $\angle BTE=2\angle ITE=2\angle HTE=2\angle HAC$.

Hơn nữa $\angle HAC=\angle EBI$ và $\angle EIC=2\angle EBI$ vì $I$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $BEC$.

Kéo theo $\angle BTE=\angle EIC$. Điều này cho ta $TBIE$ nội tiếp hay $E\in (TBI)$.

Từ đó :

$$\angle MBT=\angle \angle TEM=\angle TAB=\angle TCB$$

Suy ra $MB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$. Tương tự $NC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$.

Hơn nữa có $A(TP,BC)=A(JH,BC)=-1$ nên tứ giác $TBPC$ điều hoà. Suy ra $TP$ và hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ đồng quy. Tức là $TP,BM,NC$ đồng quy.

Hoàn tất bài toán.