Limit of the sequence

Bài toán : Xét dãy số $(x_n),(y_n)$ xác định bởi $x_1=a,y_1=b$ và :

$$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=\max \left\{x_n+y_n,x_n-y_n\right\}\\ y_{n+1}=\min \left\{x_n+y_n,x_n-y_n\right\}\end{array},\forall n\ge 1$$

Tìm các số thực $a,b$ để hai dãy $(x_n),(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Lời giải :

Ta dễ dàng thấy :

$$x_{n+1}+y_{n+1}=2x_n,x_{n+1}-y_{n+1}=2|y_n|$$

Từ đó ta suy ra rằng :

$$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=x_n+|y_n|\\ y_{n+1}=x_n-|y_n|\end{array}$$

Ta xét các trường hợp sau :

a) Trường hợp 1 : Nếu $a>|b|$.

Ta lần lượt tính được $x_2=a+|b|,y_2=a-|b|,x_3=2a,y_3=2|b|$. Bằng phép quy nạp đơn giản :

$$x_{2n+1}=2^{n}a,y_{2n+1}=2^n|b|,x_{2n}=2^{n-1}(a+|b|),y_{2n}=2^{n-1}(a-|b|)$$

Từ đó do $a>|b|\ge 0$ nên khi đó dãy $(x_n)$ tiến tới vô cùng khi $n$ tiến tới vô cùng. Tức dãy $(x_n)$ không có giới hạn hữu hạn.

b) Trường hợp 2 : Nếu $a=|b|=0$. Khi đó dễ thấy $x_n=y_n=0$ với mọi $n$. Suy ra cả hai dãy đều có giới hạn hữu hạn bằng $0$.

Nếu $a=|b|\ne 0$. Khi đó dễ chứng minh được bằng quy nạp :

$$x_{2n+1}=y_{2n+1}=x_{2n}=2^{n}a,y_{2n}=0$$

Khi đó dễ thấy $(x_n)$ cũng không có giới hạn hữu hạn (giới hạn vô cùng).

c) Trường hợp 3 : Nếu $a<|b|$.

Ta lần lượt tính đuợc :

$$x_2=a+|b|,y_2=a-|b|$$

$$x_3=2|b|,y_3=2a$$

$$x_4=2(|a|+|b|),y_4=2(|b|-|a|)$$

Nếu $a=0$ thì $x_4=|y_4|=2|b|>0$. Bây giờ ta xét dãy $(a_n),(b_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=b_1=2|b|\\ a_{n+1}=a_n+|b_n|\\ b_{n+1}=a_n-|b_n|\end{array}$$

Tương tự trường hợp 2, ta chứng minh được :

$$a_{2n+1}=b_{2n+1}=a_{2n}=2^n.2|b|,b_{2n}=0$$

Hơn nữa cũng thấy $a_n=x_{n+3},b_n=y_{n+3}$.

Từ đó cũng dễ thấy các dãy $(x_n),(y_n)$ đều tiến tới vô cùng khi $n$ tiến tới vô cùng.

Còn nếu $a\ne 0$ thì $x_4>|y_4|$. Khi đó ta lại xét dãy $(a_n),(b_n)$ :

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=x_4=2(|a|+|b|)\\ b_1=y_4=2(|b|-|a|)\\ a_{n+1}=a_n+|b_n|\\ b_{n+1}=a_n-|b_n|\end{array}$$

Cũng hoàn toàn tương tự trường hợp 1 thì :

$$a_{2n+1}=2^n.x_4,b_{2n+1}=2^n.|y_4|,a_{2n}=2^{n-1}(x_4+|y_4|),b_{2n}=2^{n-1}(x_4-|y_4|)$$

Vậy thì dãy $(x_n)$ lúc này cũng không có giới hạn hữu hạn.

Như vậy tất cả các giá trị $a,b$ cần tìm thoả đề là $a=b=0$