Sequence – Limit

Bài toán : Xét dãy số $(u_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1<2,u_2<2\\ u_{n+2}=\frac{1}{3}(u_{n+1}+2^{u_n}),\forall n=1,2,..\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn này.

Lời giải :

Xét hai dãy phụ :

$$(a_n):\{\begin{array}{c}{a}_1=\max \left\{u_1,u_2,1\right\}\\ a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+2^{a_n})\end{array}$$

$$(b_n):\{\begin{array}{c}{b}_1=\min \left\{u_1,u_2,1\right\}\\ b_{n+1}=\frac{1}{3}(b_n+2^{b_n})\end{array}$$

Ta dễ thấy $1\le a_n<2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta sẽ chứng minh dãy $(a_n)$ là dãy giảm.

Ta xét hàm số $f(x)=2^x-2x$, dễ dàng thấy được $f(x)\le 0\iff x\in \left[1,2\right]$. Như vậy vì $a_1\in \left[1,2\right]$ nên $f(a_1)=2^{a_1}-2a_1\le 0$ hay $2^{a_1}\le 2a_1$. Từ đó :

$$a_2=\frac{1}{3}(a_1+2^{a_1})\le \frac{1}{3}(a_1+2a_1)=a_1$$

Từ đó quy nạp lên được dãy $(a_n)$ giảm. Mà dãy $(a_n)$ bị chặn nên nó hội tụ về $A$. Chuyển qua giới hạn :

$$2^A=2A$$

Rõ ràng nghiệm ở đây là $A=1$ hoặc $A=2$. Nhưng do $a_n\le a_{n-1}\le ...\le a_1<2$ nên $A=1$.

Tức là $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1$.

Hoàn toàn tương tự dãy $(b_n)$ tăng và bị chặn trên nên hội tụ và giới hạn hữu hạn là $1$.

Ta sẽ chứng minh :

$$b_n\le \min \left\{u_{2n-1},u_{2n}\right\}(\ast )$$

Với $n=1$ thì điều này đúng. Gỉa sử như vậy, ta xét với $n+1$ :

$$u_{2n+1}=\frac{1}{3}(u_{2n}+2^{u_{2n-1}})\ge \frac{1}{3}(b_n+2^{b_n})=b_{n+1}$$

$u_{2n+2}$$=\frac{1}{3}(u_{2n+1}+2^{u_{2n}})$$\ge \frac{1}{3}(b_{n+1}+2^{b_n})$$\ge \frac{1}{3}(b_n+2^{b_n})$$=b_{n+1}$

Như vậy $(\ast )$ đúng. Tương tự :

$$a_n\ge \max \left\{u_{2n-1},u_{2n}\right\}$$

Từ đó theo nguyên lý kẹp, ta được :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_{2n-1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_{2n}$$=1$$\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$$=1$