Functional Equation

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2011)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$y^{2}f(x)+x^{2}f(x)+xy=xyf(x+y)+x^2+y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Đặt $g(x)=f(x)-1$ thay vào $(1)$ được :

$$y^{2}g(x)+x^{2}g(y)=xyg(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(2)$ cho $x=y$ :

$$g\left(2x\right)=2g(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trong $(2)$ cho $x=1$ :

$xg(x+1)$$=g(x)+x^{2}c(c$$=f(1)),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow g(x+1)$$=\frac{g(x)}{x}+xc,\forall x$$\ne 0$

Ta sẽ tính $f(2x+2)$ theo hai cách.

Ta có :

$$g(2x+2)=g(2(x+1))=2g(x+1)=\frac{2g(x)}{x}+2xc,\forall x\in \mathbb{R}$$

$g(2x+2)$$=g((2x+1)+1)$$=\frac{g(2x+1)}{2x+1}+(2x+1)c$$=\frac{\frac{g(2x)}{2x}+2xc}{2x+1}+(2x+1)c$$=\frac{\frac{g(x)}{x}+2xc}{2x+1}+(2x+1)c$$=\frac{g(x)+2x^{2}c}{x(2x+1)}+(2x+1)c,\forall x$$\ne 0,x$$\ne \frac{-1}{2}$

Như vậy ta suy ra :

$\frac{g(x)+2x^{2}c}{x(2x+1)}+(2x+1)c$$=\frac{2g(x)}{x}+2xc,\forall x$$\ne 0,\frac{-1}{2}$$\iff (4x+1)g(x)$$=(4x^2+x)g(x).c,\forall x$$\ne 0,\frac{-1}{2}$$\iff g(x)$$=cx,\forall x\notin \left\{0,-1/2,-1/4\right\}$

Hơn nữa ta có trong $(2)$ cho $x=0$ được $g(0)=0$. Trong $(2)$ thay $y$ bởi $-x$ :

$$g(-x)=-g(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ cho $x=y=1/2$ :

$$\frac{1}{2}f(1/2)=\frac{1}{4}f(1)\Rightarrow f(1/2)=c/2$$

Do $f$ lẻ nên $f(-1/2)=-c/2$. Trong $(1)$ cho $y=1/4$ :

$$\frac{1}{8}f(1/4)=\frac{1}{16}f(1/2)\Rightarrow f(1/4)=c/4\Rightarrow f(-1/4)=-c/4$$

Như vậy ta thu được :

$$g(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đó hàm cần tìm thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=cx+1,\forall x\in \mathbb{R},c=const$$