Functional Equation

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2008)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ lấy $x=y=0$ được $f(0)=0$. Trong $(1)$ lấy $y=-1$ 

$$xf(x)+f(x^2)f(-1)=f(0)=0,\forall x\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(2)$ lấy $x=-1$ ta được :

$$f(1)f(-1)-f(-1)=0\iff f(-1)=0\vee f(1)=1$$

Nhưng rõ ràng nếu $f(-1)=0$ thì từ $(2)$ suy ra $f$ đồng nhất $0$ và hàm này thỏa mãn bài toán.

Còn nếu $f(1)=1$ thì trong $(2)$ lại lấy $x=1$ ta thu được $f(-1)=-1$. Từ đó $(2)$ trở thành :

$$f(x^2)=xf(x),\forall x\in \mathbb{R}(3)$$

Trong $(1)$ ta cho $y=1$ :

$xf(2x)$$=xf(x)+f(x^2)f(1),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(2x)$$=2f(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Kết hợp $(1)$ và $(3)$ ta được :

$$f(x+xy)=f(x)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(4)$$

Từ $(4)$ lần lượt lấy $x=1,x=-1$ :

$$f(1+y)=1+f(y),\forall y\in \mathbb{R}$$

$$f(-1-y)=-1-f(y),\forall x\in \mathbb{R}$$

Như vậy hàm $f$ là một hàm số lẻ. 

Trong $(4)$ thay $y$ bởi $-y$ và sử dụng tính lẻ của $f$ :

$$f(x-xy)=f(x)+f(x)f(-y)=f(x)-f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(5)$$

Cộng vế theo vế $(4)(5)$ :

$f(x+xy)+f(x-xy)$$=2f(x)$$=f(2x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x\in \mathbb{R}$

Và bây giờ ta sẽ  tính biểu thức $f((x+1{)}^2)$ theo hai cách :

$$f((x+1{)}^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+f(2x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f((x+1{)}^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)\left(f(x)+1\right),\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ hai điều trên thu được :

$$(x+2)f(x)+1=(x+1)(f(x)+1),\forall x\in \mathbb{R}\iff f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Thử lại thỏa. Kết luận của bài toán là :

$$\boxed{f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R};f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}}$$