Geometry

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có $AD,BC$ giao nhau tại $E$ và $AC,BD$ giao nhau tại $P$. Gọi $M,N$ là trung điểm của $AC,BD$. Gọi $I$ là tâm ngoại tiếp tam giác $EMN$. Chứng minh $OP$ song song $EI$.

Lời giải :

Gọi $S$ là trung điểm của $EF$, $X$ theo thứ tự là giao của $EF$ với $BD,AC$.

Dễ thấy $(AC,YP)=-1$ mà $M$ là trung điểm của $AC$ nên theo hệ thức Macraulin :

$$PM.PY=PA.PC$$

Hoàn toàn tương tự thì $PN.PX=PD.PB$. Hơn nữa lại có $PA.PC=PB.PD=P_{P/(O)}$ nên có $PN.PX=PM.PY$

Suy ra $M,N,X,Y$ đồng viên. 

Mà dễ dàng thấy $S,M,N$ thẳng hàng theo định lí về đường thẳng Gauss.

Do vậy ta được $SM.SN=SX.SY$. Cũng dễ thấy $(EF,XY)=-1$ và $S$ là trung điểm của $EF$ nên theo hệ thức Newton :

$$S{E}^2=SX.SY$$

Ta thu được $S{E}^2=SM.SN$. Suy ra $SE$ là tiếp tuyến của $(EMN)$. Từ đó $IE$ vuông góc $EF$. 

Lại theo định lý Brocard thì $O$ là trực tâm tam giác $PEF$, kéo theo $OP$ vuông góc $EF$. Như vậy $IE$ song song $OP$.