Inequality

Bài toán : 

a) Cho các số thực dương $a,b,c,x,y,z$. Chứng minh rằng :

$${\left[(a+b)z+(b+c)y+(c+a)x\right]}^2\ge 4(abz+bcy+cax)(x+y+z)$$ 

b) (ELMO Shortlist 2014)

Cho các số thực dương $a,b,c,d,e,f$ thỏa mãn $def+de+ef+fd=4$. Chứng minh rằng :

$${\left[(a+b)de+(b+c)ef+(c+a)fd\right]}^2\ge 12(abde+bcef+cafd)$$

Lời giải :

a) Ta khai triển BĐT cần chứng minh :

$$(a+b{)}^2{z}^2+(b+c{)}^2{y}^2+(c+a{)}^2{x}^2+2yz(a+b)(b+c)+2zx(a+b)(c+a)+2xy(b+c)(c+a)$$

$$\ge 4ab{z}^2+4bc{y}^2+4ca{x}^2+4ab(xz+yz)+4bc(xy+yz)+4ca(xy+xz)$$

Sử dụng AM-GM ta dễ thấy :

$$(a+b{)}^2{z}^2+(b+c{)}^2{y}^2+(c+a{)}^2{x}^2\ge 4ab{z}^2+4bc{y}^2+4ca{x}^2$$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh :

$$yz(a+b)(b+c)+zx(a+b)(c+a)+xy(b+c)(c+a)\ge 2ab(xz+yz)+2bc(xy+yz)+2ca(xy+xz)$$

$\iff yz(ab+bc+ca+b^2)+zx(ab+bc+ca+a^2)+xy(ab+bc+ca+c^2)$$\ge 2ab(xz+yz)+2bc(xy+yz)+2ca(xy+xz)$

$\iff yz(ca+b^2)+zx(bc+a^2)+xy(ab+c^2)$$\ge ab(xz+yz)+bc(xy+yz)+ca(xy+xz)$$=yz(ab+bc)+zx(ab+ca)+xy(bc+ca)$

$$\iff xy(c-a)(c-b)+zx(a-b)(a-c)+yz(b-a)(b-c)\ge 0$$

Đúng theo BĐT Schur suy rộng. Ta hoàn thành ý a.

b) Sử dụng câu a ta có ngay :

$${\left[(a+b)de+(b+c)ef+(c+a)fd\right]}^2\ge 4\left(abde+bcef+cafd\right)(de+ef+fd)$$

Vậy ta chỉ cần chứng tỏ $de+ef+fd\ge 3$. Nhưng với giả thiết ban đầu ta có thể đặt :

$$d=\frac{2A}{B+C},e=\frac{2B}{C+A},f=\frac{2C}{A+B}$$

Như thế ta cần chứng minh :

$\frac{AB}{(B+C)(C+A)}+\frac{BC}{(C+A)(A+B)}+\frac{CA}{(A+B)(B+C)}$$\ge \frac{3}{4}$$\iff 4\sum AB(A+B)$$\ge 3(A+B)(B+C)(C+A)$$\iff AB(A+B)+BC(B+C)+CA(C+A)$$\ge 6ABC$

Luôn đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh.