Sequence – Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh)

Xét dãy số $(u_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_1=a\in \left(0,1\right)\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{(1-u_n{)}^5},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng $(u_n)$ hội tụ.

Lời giải :

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp $u_n\in \left(0,1\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Xét hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\sqrt[3]{(1-x{)}^5}$ trên $(0,1)$.

Hàm này có đạo hàm 

$0$$<f^{\prime }(x)$$=\frac{5}{6}\sqrt[3]{(1-x{)}^2}$$<\frac{5}{6}$$\Rightarrow \left|f^{\prime }(x)\right|$$<\frac{5}{6}$$<1$

Xét hàm số $g(x)=f(x)-x$ thì $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1<0$ nên $g$ nghịch biến. Hơn nữa :

$$g(0)=1/2>0,g(1)=-1<0$$

Kết hợp với tính nghịch biến của $g$, ta được $g$ có nghiệm duy nhất trên $(0,1)$.

Gọi nghiệm này là $k$, khi đó $k$ là số thực duy nhất thỏa mãn $f(k)=k$. 

Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại số thực $c$ sao cho :

$$f(u_n)-f(k)=f^{\prime }(c)(u_n-k)$$

Suy ra :

$0$$\le \left|u_{n+1}-k\right|$$=\left|f(u_n)-f(k)\right|$$<\frac{5}{6}\left|u_n-k\right|$$<...$$<{\left(\frac{5}{6}\right)}^n.|u_1-k|$

Từ đó theo định lý kẹp, ta được $(u_n)$ hội tụ về $k$.