Geometry

Bài toán (Trại hè Hùng Vương 2014)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AC,BC$ lần lượt tại $E,F$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $P$. Một đường thẳng song song với $AB$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $Q$ nằm trong tam giác $ABC$

a) Gọi $K,L$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $PE$ và $PF$ với $(O)$. Chứng minh $KL$ song song với $EF$ b) Chứng minh $\angle ACP=\angle QCB$ Lời giải :

a) Kẻ tiếp tuyến tại $P$ chung của hai đường tròn.

Khi đó ta có :

$$\angle KLP=\angle KPx=\angle EPx=\angle EFP$$

Vậy $KL$ song song $EF$.

b) Theo định lý Lyness thì $E,J,F$ thẳng hàng với $J$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của $CP$ và $(I)$. Trong tam giác $PEF$ có $PI$ là trung tuyến và $PX$ là đối trung nên $PI,PX$ đẳng giác. Suy ra :

$$\angle XPE=\angle QPF\Rightarrow XE=QF$$

Ta được $XQFE$ là một hình thang cân, do $CI$ là trung trực của $EF$ nên $CI$ là trung trực của $XQ$

Kéo theo tam giác $XCQ$ cân và $CI$ đồng thời là phân giác góc $XCQ$.

Mà $CI$ là phân giác góc $ECF$. Như vậy ta có điều phải chứng minh :

$$\angle XCE=\angle QCF\Rightarrow \angle PCA=\angle QCB$$