Bài toán : Cho tam giác $ABC$. $I_A,I_B,I_C$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$. $(I_A)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$. $(I_B)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $A_2,B_2,C_2$. $(I_C)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $A_3,B_3,C_3$. Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là giao của các cặp đường thẳng $(I_AA_1,B_1C_1),(I_BA_2,B_2C_2),(I_CA_3,B_3C_3)$. Chứng minh $AD,BE,CF$ đồng quy. Lời giải : Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $BC$. $I_AA_1$ cắt $d$ tại $T$. $B_1C_1$ cắt $d$ tại $U$. Dễ thấy các điểm $A,T,B_1,C_1,I_A$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AI_A$, suy ra : \[\angle C_1TI_A=\angle C_1AI_A=\dfrac{\angle A}{2}=\angle B_1AI_A=\angle B_1TI_A\] Tức $TI_A$ là phân giác góc $B_1TC_1$, hơn nữa $TI_A$ vuông góc $TU$. Do đó $T(B_1C_1,UI_A)=-1$. Kéo theo $(B_1C_1,UD)=-1$. Lại kéo theo $A(CB,UD)=-1$ mà ta có $AU$ song song $BC$ nên theo định lý về chùm điều hòa, ta được $AD$ đi qua trung điểm của $BC$ hay $AD$ là trung tuyến của tam giác $ABC$. Một cách tương tự $BE,CF$ là trung tuyến của tam giác $ABC$. Như vậy $AD,BE,CF$ đồng quy.

Geometry

Đề bài

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ . $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc $A, B, C$ . $(I_{A})$ tiếp xúc $B C, C A, A B$ tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ . $(I_{B})$ tiếp xúc $B C, C A, A B$ tại $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ . $(I_{C})$ tiếp xúc $B C, C A, A B$ tại $A_{3}, B_{3}, C_{3}$ . Gọi $D, E, F$ theo thứ tự là giao của các cặp đường thẳng $(I_{A} A_{1}, B_{1} C_{1}), (I_{B} A_{2}, B_{2} C_{2}), (I_{C} A_{3}, B_{3} C_{3})$ . Chứng minh $A D, B E, C F$ đồng quy.

Lời giải :

Qua $A$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $B C$ . $I_{A} A_{1}$ cắt $d$ tại $T$ . $B_{1} C_{1}$ cắt $d$ tại $U$ .

Dễ thấy các điểm $A, T, B_{1}, C_{1}, I_{A}$ cùng thuộc đường tròn đường kính $A I_{A}$ , suy ra :

$∠ C_{1} T I_{A} = ∠ C_{1} A I_{A} = \frac{∠ A}{2} = ∠ B_{1} A I_{A} = ∠ B_{1} T I_{A}$

Tức $T I_{A}$ là phân giác góc $B_{1} T C_{1}$ , hơn nữa $T I_{A}$ vuông góc $T U$ . Do đó $T (B_{1} C_{1}, U I_{A}) = - 1$ .

Kéo theo $(B_{1} C_{1}, U D) = - 1$ . Lại kéo theo $A (C B, U D) = - 1$ mà ta có $A U$ song song $B C$ nên theo định lý về chùm điều hòa, ta được $A D$ đi qua trung điểm của $B C$ hay $A D$ là trung tuyến của tam giác $A B C$ .

Một cách tương tự $B E, C F$ là trung tuyến của tam giác $A B C$ . Như vậy $A D, B E, C F$ đồng quy.

Mô tả

Bài toán : Cho tam giác . lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc . tiếp xúc tại . tiếp xúc tại . tiếp xúc tại . Gọi theo thứ tự là giao của các cặp đường thẳng . Chứng minh đồng quy. Lời giải : Qua kẻ đường thẳng song song […]

Hình học phẳngTỉ số kép - Hàng điểm điều hoà

Nguồn: julielltv