Inequality

Bài toán : Cho các số $a,b,c$ không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (Olympic Gặp gỡ toán học lớp 12 năm 2014)

$$3+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \frac{12(ab+bc+ca)}{(a+b+c{)}^2}$$

b) 

$$2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Lời giải :

a) Theo AM-GM :

$$(a+b)(b+c)(c+a)\le \frac{8}{27}(a+b+c{)}^3(\ast )$$

Như vậy chỉ cần chứng minh :

$3+\frac{27abc}{(a+b+c{)}^3}$$\ge \frac{12(ab+bc+ca)}{(a+b+c{)}^2}$$\iff (a+b+c{)}^3+9abc$$\ge 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$

Hiển nhiên vì đây là BĐT Schur.

b) Ta sẽ tìm một đánh giá chặt hơn $(\ast )$.

Ta sẽ chứng minh :

$$9(a+b)(b+c)(c+a)\le 8(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$

Thật vậy, biến đổi tương đương :

$$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+21abc\le 7(a^3+b^3+c^3)+(a^3+b^3+c^3+3abc)$$

Đúng theo AM-GM và Schur. Như vậy ta đi chứng minh :

$2+\frac{9abc}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a^2+b^2+c^2}$$\iff \frac{9abc}{a+b+c}$$\ge 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)$

Hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Schur.

 

Nhận xét : Qua bài trên ta có một đánh giá quan trọng cho biểu thức $(a+b)(b+c)(c+a)$ :

$$\boxed{8(a+b+c)(ab+bc+ca)\le 9(a+b)(b+c)(c+a)\le 8(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$