Inequality

Bài toán : Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn không hai số nào cùng bằng $0$. Chứng minh :

$$\frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{b^3+abc}{c^3+a^3+abc}+\frac{c^3+abc}{a^3+b^3+abc}\ge 2$$

Lời giải :

Chú ý bài này có dấu bằng tại cả tâm và cả biên $(a,b,c)=(k,k,0)$. Ta loại dấu bằng tại tâm như sau.

Nếu $abc=0$, không giảm tổng quát, giả sử $c=0$, ta cần chứng minh :

$$\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3}\ge 2$$

Điều này là hiển nhiên. 

Ta xét $abc\ne 0$, chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho $abc\ne 0$ :

$\frac{\frac{a^2}{bc}+1}{\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}+1}+\frac{\frac{b^2}{ca}+1}{\frac{c^2}{ab}+\frac{a^2}{bc}+1}+\frac{\frac{c^2}{ab}+1}{\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+1}$$\ge 2$

Ta đặt $x=\frac{a^2}{bc},y=\frac{b^2}{ca},z=\frac{c^2}{ab}$ thì $xyz=1$ và ta cần chứng minh :

$$\frac{x+1}{y+z+1}+\frac{y+1}{z+x+1}+\frac{z+1}{x+y+1}\ge 2$$

Áp dụng Cauchy-Schwarz :

$VT$$\ge \frac{{\left[(x+1)+(y+1)+(z+1)\right]}^2}{(x+1)(y+z+1)+(y+1)(z+x+1)+(z+1)(x+y+1)}$$=\frac{(x+y+z+3{)}^2}{2(xy+yz+zx)+3(x+y+z)+3}$

Như vậy cần chỉ ra :

$(x+y+z+3{)}^2$$\ge 4(xy+yz+zx)+6(x+y+z)+6$$\iff x^2+y^2+z^2+3$$\ge 2(xy+yz+zx)$$\iff x^2+y^2+z^2+2xyz+1$$\ge 2(xy+yz+zx)$

Đây là một kết quả quen thuộc. Bài toán hoàn tất.