Inequality

Bài toán : Với các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho :

$$a+b+c+kabc\ge 3+k$$

Lời giải :

Cho $b=c$, giả thiết đã cho viết thành :

$$a+2b=b^2+2ab\Rightarrow a=\frac{b^2-2b}{1-2b}\ge 0\Rightarrow \frac{1}{2}\le b\le 2$$

Lưu ý vì tìm $k$ lớn nhất nên xét $k>0$.

Thay vào bất đẳng thức, ta được :

$2b+\frac{b^2-2b}{1-2b}+k.\frac{b^2(b^2-2b)}{1-2b}$$\ge k+3$$\iff 2b(1-2b)+(b^2-2b)+k.b^2(b^2-2b)$$\le k(1-2b)+3(1-2b)$$\iff 3(b-1{)}^2$$\ge k(b^2-1)(b-1{)}^2$$\iff \frac{3}{k}$$\ge b^2-1$

Mà $b^2-1\le 2^2-1=3$, từ đó suy ra $k\le 1$. Ta chứng minh $k=1$ là giá trị lớn nhất cần tìm. Với giả thiết $a+b+c=ab+bc+ca$. Ta chỉ cần chứng tỏ :

$$ab+bc+ca+abc\ge 4$$

Ta phản chứng rằng $ab+bc+ca+abc=4$, và đi chứng minh :

$$a+b+c\ge ab+bc+ca$$

Đây là một kết quả quen thuộc của kỳ thi VMO 1996.